Παραλλαγή σε ΙΜΟ

#1

: Παραλλαγή σε ΙΜΟ.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

Έστω

το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα ενός οξυγώνιου

τριγώνου ABC.

Αν

και η

τέμνει την

στο

να δείξετε ότι GH=GK.

Ζητείται λύση χωρίς τη χρήση της IMO Shortlist 2017 G3.

min## · #2

Έστω

η τομή των

,

.Είναι $\angle AOH =\angle AEB$ , $\angle KHO=\angle HAC$ (κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα $\angle KHO=\angle OAB$ (ισογώνια AH,AO

) και άρα τα τρίγωνα OHK

,

είναι όμοια. $\frac{AO}{OE}=2$ ,λόγω της παραλληλίας, ενώ και $\frac{HG}{GO}=2$ (ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα O,G

είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή BO=AO

,άρα και

.

#3

min## έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm
Έστω η τομή των ,.Είναι $\angle AOH =\angle AEB$ , $\angle KHO=\angle HAC$ (κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα $\angle KHO=\angle OAB$ (ισογώνια ) και άρα τα τρίγωνα , είναι όμοια. $\frac{AO}{OE}=2$ ,λόγω της παραλληλίας, ενώ και $\frac{HG}{GO}=2$ (ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή ,άρα και .

Απόδειξη ζωγραφιά.

Κώστας Βήττας.

#4

min## έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm
Έστω η τομή των ,.Είναι $\angle AOH =\angle AEB$ , $\angle KHO=\angle HAC$ (κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα $\angle KHO=\angle OAB$ (ισογώνια ) και άρα τα τρίγωνα , είναι όμοια. $\frac{AO}{OE}=2$ ,λόγω της παραλληλίας, ενώ και $\frac{HG}{GO}=2$ (ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή ,άρα και .

Κομψή μέσα στην απλότητά της

Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Μέλη σε σύνδεση