Μέσο επί της μεσοκαθέτου
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Μέσο επί της μεσοκαθέτου
και η διάμετρος του μικρού . Οι τέμνουν τον μεγάλο κύκλο στα αντίστοιχα .
Οι εφαπτόμενες του μεγάλου κύκλου στα τέμνονται στο σημείο .
α) Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος , βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο της .
β) Αν , πώς θα επιλέξουμε το , ώστε το να βρεθεί πάνω στον μικρό κύκλο ;
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Μέσο επί της μεσοκαθέτου
Η δέσμη είναι αρμονική, αφού μέσο του .
Έστω το αντιδιαμετρικό του στο "μεγάλο κύκλο".
Το ενώνει μέσα στο τρίγωνο , άρα .
Φέρνουμε ακόμα την εφαπτομένη στο μεγάλο κύκλο από το και έστω πως τέμνει την στο .
Θα αποδείξουμε πως η δέσμη είναι αρμονική.
Έστω ότι τέμνει την στο .
Θέλουμε να αποδείξουμε πως η τετράδα είναι αρμονική. Αρκεί το να ανήκει στην πολική του ως προς το "μεγάλο κύκλο".
Θα αποδείξουμε ειδικότερα πως η ευθεία , δηλαδή η , είναι η πολική του . Προφανώς το ανήκει στην πολική του , αφού η είναι εφαπτόμενη στο "μεγάλο κύκλο". Θέλουμε να αποδείξουμε πως και το ανήκει στην πολική του . Το όμως ανήκει στην πολική του που είναι η . Άρα από προκύπτει ο ισχυρισμός.
Έστω τώρα πως η δεν είναι κάθετη στην . Άρα ούτε είναι κάθετη στην , άρα η δεν είναι κάθετη ούτε στην .
Φέρνουμε από το κάθετη στην , και έστω πως τέμνονται στο , με τη να μην είναι τώρα παράλληλη με την .
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:
Αν έχουμε μια αρμονική δέσμη και μια άλλη δέσμη, της οποίας κάθε ευθεία είναι κάθετη με μια διαφορετική ευθεία της πρώτης δέσμης, τότε και η δεύτερη δέσμη είναι αρμονική (δεν το διατύπωσα πολύ επίσημα, αλλά φαίνεται από την εφαρμογή του παρακάτω).
Ειδικότερα η δέσμη είναι αρμονική. Αφού , ( διάμετρος του μεγάλου κύκλου), (αφού η είναι εφαπτόμενη στον "μεγάλο κύκλο") και , από το λήμμα έχουμε πως και η δέσμη είναι αρμονική.
Αφού όμως μέσο του πρέπει , άτοπο.
Άρα πράγματι .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες