Μέσο επί της μεσοκαθέτου

[KARKAR]

Μέσο επί της μεσοκαθέτου.png (19.65 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

Οι κύκλοι και είναι ομόκεντροι , το τυχόν σημείο του μεγάλου κύκλου

και η διάμετρος του μικρού . Οι τέμνουν τον μεγάλο κύκλο στα αντίστοιχα .

Οι εφαπτόμενες του μεγάλου κύκλου στα τέμνονται στο σημείο .

α) Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος , βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο της .

β) Αν , πώς θα επιλέξουμε το , ώστε το να βρεθεί πάνω στον μικρό κύκλο ;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Μέσο επί της μεσοκαθέτου.png (39.37 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

α) Φέρνουμε από το παράλληλη στη η οποία τέμνει το μεγάλο κύκλο στο .

Η δέσμη είναι αρμονική, αφού μέσο του .

Έστω το αντιδιαμετρικό του στο "μεγάλο κύκλο".

Το ενώνει μέσα στο τρίγωνο , άρα .

Φέρνουμε ακόμα την εφαπτομένη στο μεγάλο κύκλο από το και έστω πως τέμνει την στο .

Θα αποδείξουμε πως η δέσμη είναι αρμονική.

Έστω ότι τέμνει την στο .

Θέλουμε να αποδείξουμε πως η τετράδα είναι αρμονική. Αρκεί το να ανήκει στην πολική του ως προς το "μεγάλο κύκλο".

Θα αποδείξουμε ειδικότερα πως η ευθεία , δηλαδή η , είναι η πολική του . Προφανώς το ανήκει στην πολική του , αφού η είναι εφαπτόμενη στο "μεγάλο κύκλο". Θέλουμε να αποδείξουμε πως και το ανήκει στην πολική του . Το όμως ανήκει στην πολική του που είναι η . Άρα από προκύπτει ο ισχυρισμός.

Έστω τώρα πως η δεν είναι κάθετη στην . Άρα ούτε είναι κάθετη στην , άρα η δεν είναι κάθετη ούτε στην .

Φέρνουμε από το κάθετη στην , και έστω πως τέμνονται στο , με τη να μην είναι τώρα παράλληλη με την .

Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:

Αν έχουμε μια αρμονική δέσμη και μια άλλη δέσμη, της οποίας κάθε ευθεία είναι κάθετη με μια διαφορετική ευθεία της πρώτης δέσμης, τότε και η δεύτερη δέσμη είναι αρμονική (δεν το διατύπωσα πολύ επίσημα, αλλά φαίνεται από την εφαρμογή του παρακάτω).

Ειδικότερα η δέσμη είναι αρμονική. Αφού , ( διάμετρος του μεγάλου κύκλου), (αφού η είναι εφαπτόμενη στον "μεγάλο κύκλο") και , από το λήμμα έχουμε πως και η δέσμη είναι αρμονική.

Αφού όμως μέσο του πρέπει , άτοπο.

Άρα πράγματι .