
- Μέσο επί της μεσοκαθέτου.png (39.37 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
α) Φέρνουμε από το

παράλληλη στη

η οποία τέμνει το μεγάλο κύκλο στο

.
Η δέσμη

είναι αρμονική, αφού

μέσο του

.
Έστω

το αντιδιαμετρικό του

στο "μεγάλο κύκλο".
Το

ενώνει μέσα στο τρίγωνο

, άρα

.
Φέρνουμε ακόμα την εφαπτομένη στο μεγάλο κύκλο από το

και έστω πως τέμνει την

στο

.
Θα αποδείξουμε πως η δέσμη

είναι αρμονική.
Έστω ότι

τέμνει την

στο

.
Θέλουμε να αποδείξουμε πως η τετράδα

είναι αρμονική. Αρκεί το

να ανήκει στην πολική του

ως προς το "μεγάλο κύκλο".
Θα αποδείξουμε ειδικότερα πως η ευθεία

, δηλαδή η

, είναι η πολική του

. Προφανώς το

ανήκει στην πολική του

, αφού η

είναι εφαπτόμενη στο "μεγάλο κύκλο". Θέλουμε να αποδείξουμε πως και το

ανήκει στην πολική του

. Το

όμως ανήκει στην πολική του

που είναι η

. Άρα από

προκύπτει ο ισχυρισμός.
Έστω τώρα πως η

δεν είναι κάθετη στην

. Άρα ούτε

είναι κάθετη στην

, άρα η

δεν είναι κάθετη ούτε στην

.
Φέρνουμε από το

κάθετη στην

, και έστω πως τέμνονται στο

, με τη

να μην είναι τώρα παράλληλη με την

.
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:
Αν έχουμε μια αρμονική δέσμη και μια άλλη δέσμη, της οποίας κάθε ευθεία είναι κάθετη με μια διαφορετική ευθεία της πρώτης δέσμης, τότε και η δεύτερη δέσμη είναι αρμονική (δεν το διατύπωσα πολύ επίσημα, αλλά φαίνεται από την εφαρμογή του παρακάτω).
Ειδικότερα η δέσμη

είναι αρμονική. Αφού

,

(

διάμετρος του μεγάλου κύκλου),

(αφού η

είναι εφαπτόμενη στον "μεγάλο κύκλο") και

, από το λήμμα έχουμε πως και η δέσμη

είναι αρμονική.
Αφού όμως

μέσο του

πρέπει

, άτοπο.
Άρα πράγματι

.