mathematica.gr

Εάν δύο τρίγωνα είναι συμμετρικά μεταξύ τους, ως προς δοσμένη ευθεία, τότε είναι και ορθολογικά. Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Εάν είναι τα δοσμένα τρίγωνα, συμμετρικά ως προς την ευθεία , αρκεί να αποδειχθεί ότι οι δια των σημείων κάθετες ευθείες επί των ευθειών αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Έστω ότι τα ίχνη των καθέτων από τα είναι αντίστοιχα.

Έστω ότι οι και τέμνονται στο .

Έχουμε πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα , άρα , άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Άρα η και η τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του .

Όμοια και η και η τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του . Όμως η τέμνει τον περιγεγραμμένο μόνο σε ένα σημείο (εκτός του , το οποίο δεν έχεις τς προϋποθέσεις για να είναι ένα από τα προηγούμενα σήμεία ).

Άρα αυτά τα δύο σημεία ταυτίζονται, δηλαδή η , και συντρέχουν.

Edit: Προστέθηκε το σχήμα και έγιναν κάποιες βελτιώσεις!

Έστω η τομή των καθέτων των στις . Αρκεί να δειχτεί ότι είναι κάθετη στην . Με τις τομές των με τις και τις προβολές του στις αρκεί από το θεώρημα του κ. Κούτρα να είναι , ή , το οποίο είναι άμεσο λόγω των ομοίων τριγώνων που δημιουργούνται στις ( λόγω του ότι οι και έχουν ίδια σχετική κλίση).

vittasko έγραψε: ↑

Τρί Ιούλ 10, 2018 11:40 pm

Εάν δύο τρίγωνα είναι συμμετρικά μεταξύ τους, ως προς δοσμένη ευθεία, τότε είναι και ορθολογικά.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Εάν είναι τα δοσμένα τρίγωνα, συμμετρικά ως προς την ευθεία , αρκεί να αποδειχθεί ότι οι δια των σημείων κάθετες ευθείες επί των ευθειών αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Γεια σου Κώστα.
Νομίζω ότι δεν χρειάζεται τα τρίγωνα να είναι συμμετρικά ως προς ευθεία.
Αρκεί να είναι αντιρρόπως ίσα.
Η απόδειξη παραμένει ίδια .

Σταύρο,σ' ευχαριστώ. Εύστοχη παρατήρηση. Δεν το είδα (*) και ούτε η ισότητα είναι απαραίτητη. Αρκεί τα τρίγωνα να είναι όμοια και αντίρροπα.

Άρα, ο σωστός τίτλος είναι: Εάν είναι όμοια και αντίρροπα, είναι και ορθολογικά.

Κώστας Βήττας.

(*) Πολλά μου ξεφεύγουν τελευταία ...