Όμορφη καθετότητα 2

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8216
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Όμορφη καθετότητα 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 30, 2018 7:57 pm

Όμορφη καθετότητα.2.png
Όμορφη καθετότητα.2.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές
Έστω AD, BE, CF τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC και H, O το ορθόκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα.

Αν K είναι το μέσο του HO και οι BE, CF τέμνουν τις DF, DE στα M, N αντίστοιχα, να δείξετε ότι \displaystyle AK \bot MN.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3953
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Όμορφη καθετότητα 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 30, 2018 10:58 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 30, 2018 7:57 pm
Όμορφη καθετότητα.2.png
Έστω AD, BE, CF τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC και H, O το ορθόκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα.Αν K είναι το μέσο του HO και οι BE, CF τέμνουν τις DF, DE στα M, N αντίστοιχα, να δείξετε ότι \displaystyle AK \bot MN.
 \bullet Προφανώς το K είναι το κέντρο του κύκλου Euler (του ποδικού τριγώνου \vartriangle FED ) του τριγώνου \vartriangle ABC και H το έγκεντρο του \vartriangle FED με A το παράκεντρο \vartriangle FED που αντιστοιχεί στην γωνία του \angle D και ας είναι Z,P και S,L οι ορθές προβολές των A,K στις DF,DE αντίστοιχα. Τότε αν \tau είναι η ημιπερίμετρος του \vartriangle FED ισχύει DZ = DP = \tau και προφανώς DS = \dfrac{{DF}}{2},DN = \dfrac{{DE}}{2} (από αποστήματα...)

Έχουμε : SZ = DZ - SD = \tau  - \dfrac{{FD}}{2} = \dfrac{{FE + ED}}{2}:\left( 1 \right) και LP = DP - DL = \tau  - \dfrac{{DE}}{2} = \dfrac{{FE + FD}}{2}:\left( 2 \right).
όμορφη καθετότητα.png
όμορφη καθετότητα.png (39.37 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές
 \bullet Από \left( 1 \right):\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{SZ}}{{LP}} = \dfrac{{FE + ED}}{{FE + FD}}:\left( 3 \right).

Επίσης Επίσης (από θεώρημα διχοτόμου (γνωστά τμήματα)) ισχύει: DN = \dfrac{{DE \cdot FD}}{{FE + FD}}:\left( 4 \right) και DM = \dfrac{{FD \cdot DE}}{{FE + ED}}:\left( 5 \right) οπότε

από \left( 4 \right):\left( 5 \right) \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{DM}} = \dfrac{{FE + ED}}{{FE + FD}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \dfrac{{SZ}}{{LP}} = \dfrac{{DN}}{{DM}}:\left( 6 \right).

Από τη σχέση \left( 6 \right) σύμφωνα με το
Stathis Koutras' Theorem προκύπτει ότι AK \bot MN και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: min## και 1 επισκέπτης