Πυθαγόρειο από το ... πουθενά

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Πυθαγόρειο από το ... πουθενά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τρί Απρ 17, 2018 8:52 pm

GEOMETRIA 195=FB1770 Πυθαγόρειο από το ... πουθενά.png
GEOMETRIA 195=FB1770 Πυθαγόρειο από το ... πουθενά.png (129.02 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές
Εστω τρίγωνο ABC, O' το συμμετρικό του περίκεντρού του ως προς την BC και M το μέσον της BC.

Το συμμετρικό ως προς την BC, του ελάσσονος τόξου BC του περίκυκλου ABC τέμνει τις AO', AM στα D, E αντίστοιχα.

Ο περίκυκλος ADE τέμνει τις AB, AC στα S, T αντίστοιχα και η ST τέμνει την AO' στο F.

Αν ο περίκυκλος ADE τέμνει τις FB, FC στα P, Q, να δειχθεί οτι : BQ^2+PC^2=BC^2


σημ. δεν εχω λύση οπότε μπορεί να "ανήκει" και σε "χαμηλότερο" φάκελο!


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Πυθαγόρειο από το ... πουθενά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 22, 2018 2:34 pm

sakis1963 έγραψε:
Τρί Απρ 17, 2018 8:52 pm
GEOMETRIA 195=FB1770 Πυθαγόρειο από το ... πουθενά.png

Εστω τρίγωνο ABC, O' το συμμετρικό του περίκεντρού του ως προς την BC και M το μέσον της BC.

Το συμμετρικό ως προς την BC, του ελάσσονος τόξου BC του περίκυκλου ABC τέμνει τις AO', AM στα D, E αντίστοιχα.

Ο περίκυκλος ADE τέμνει τις AB, AC στα S, T αντίστοιχα και η ST τέμνει την AO' στο F.

Αν ο περίκυκλος ADE τέμνει τις FB, FC στα P, Q, να δειχθεί οτι : BQ^2+PC^2=BC^2


σημ. δεν εχω λύση οπότε μπορεί να "ανήκει" και σε "χαμηλότερο" φάκελο!
Πολύ ενδιαφέρουσα πρόταση Θάνο και νομίζω ότι καλά έκανες και την έβαλες στο φάκελο αυτό . Έχω και μια όμορφη (νομίζω) λύση την οποία ελπίζω να γράψω μέσα στην ημέρα (ίσως και τη νύχτα!!!). Να είσαι πάντα καλά

Με εκτίμηση
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Πυθαγόρειο από το ... πουθενά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 22, 2018 3:52 pm

sakis1963 έγραψε:
Τρί Απρ 17, 2018 8:52 pm
Έστω τρίγωνο ABC, O' το συμμετρικό του περίκεντρού του ως προς την BC και M το μέσον της BC.Το συμμετρικό ως προς την BC, του ελάσσονος τόξου BC του περίκυκλου ABC τέμνει τις AO', AM στα D, E αντίστοιχα.Ο περίκυκλος ADE τέμνει τις AB, AC στα S, T αντίστοιχα και η ST τέμνει την AO' στο F.Αν ο περίκυκλος ADE τέμνει τις FB, FC στα P, Q, να δειχθεί οτι : BQ^2+PC^2=BC^2
σημ. δεν εχω λύση οπότε μπορεί να "ανήκει" και σε "χαμηλότερο" φάκελο!
 \bullet Έστω W \equiv BC \cap AH \cap DE, H \equiv \left( O \right) \cap \left( K \right),H \ne A το ριζικό κέντρο των (ανά δύο) τεμνομένων κύκλων \left( O \right),\left( {{O}'} \right),\left( K \right)\equiv \left( A,D,E \right) και Z\equiv A{O}'\cap BC.

Ας είναι {A}' το συμμετρικό του A ως προς το μέσο M της BC . Τότε το AB{A}'C είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται) και από την ισότητα (λόγω συμμετρίας) των κύκλων \left( O \right),\left( {{O}'} \right) θα είναι {A}'\in \left( {{O}'} \right) .

Τότε \angle SDW\mathop  = \limits^{A,S,D,E\, \in \left( K \right)} \angle SAE \equiv \angle BAA'\mathop  = \limits^{AB\parallel A'C} \angle CA'A:\left( 1 \right) και

\angle BDW\mathop  = \limits^{B,D,E,C\, \in \left( {O'} \right)} \angle ECB\mathop  = \limits^{B,E,C,A'\, \in \left( {O'} \right)} \angle EA'B \equiv \angle AA'B\mathop  = \limits^{A'B\parallel AC} \angle CAA':\left( 2 \right) .

Από \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle SDB = \angle BAC \equiv \angle SAT\mathop  \Rightarrow \limits^{A,S,D,T \in \left( K \right)} B,D,T συνευθειακά και με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτει ότι και C,D,S συνευθειακά.
Πυθαγόρειο από το Πουθενά.png
Πυθαγόρειο από το Πουθενά.png (73.21 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές
 \bullet Από το πλήρες τετράπλευρο ASDTCB με «κορμό» το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ASDT προκύπτει ότι η σειρά \left( A,F,D,Z \right) είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) άρα και η δέσμη B.AFDZ είναι αρμονική άρα και η σειρά A,L,T,C είναι αρμονική , με L\equiv BD\cap AC , οπότε το L είναι σημείο της πολικής του C ως προς τον κύκλο \left( K \right) . Επίσης είναι γνωστό ότι το B είναι σημείο της πολικής του C ως προς τον \left( K \right). Έτσι BL\equiv BF είναι η πολική του T ως προς τον \left( K \right) και συνεπώς CP εφαπτομενικό τμήμα του \left( K \right) . Ομοίως BQ εφαπτομενικό τμήμα του \left( K \right).

 \bullet Είναι επίσης γνωστή πρόταση (έχει συζητηθεί αρκετές φορές στο :logo: ) π.χεδώ )ότι το
σημείο Miquel (έστωN) του πλήρους τετραπλεύρου ASDTCB με κορμό το εγγράψιμο τετράπλευρο ASDT είναι σημείο της BC (και μάλιστα KN\bot BC , οποτε και με KD\bot BC (από πολική) προκύπτει ότι K,D,N συνευθειακά)

Έτσι ισχύει: \left\{ \begin{gathered} 
  B{Q^2}\mathop  = \limits^{\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta  - \tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha } BD \cdot BT\mathop  = \limits^{\tau \varepsilon \mu \nu o\mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\,\chi o\rho \delta \varepsilon \varsigma \,\tau o\upsilon \,\,\kappa \upsilon \kappa \lambda o\upsilon \,\left( {D,N,C,T} \right)} BN \cdot BC \\  
  C{P^2}\mathop  = \limits^{\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta  - \tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha } CD \cdot CS\mathop  = \limits^{\tau \varepsilon \mu \nu o\mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\,\chi o\rho \delta \varepsilon \varsigma \,\tau o\upsilon \,\,\kappa \upsilon \kappa \lambda o\upsilon \,\left( {D,N,C,T} \right)} CN \cdot BC \\  
\end{gathered}  \right.

\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} B{Q^2} + C{P^2} = \left( {BN + CN} \right) \cdot BC \mathop  \Rightarrow \limits^{BN + CN = BC} \boxed{B{Q^2} + C{P^2} = B{C^2}} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Δευ Απρ 23, 2018 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης