Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

giannimani
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Πέμ Απρ 12, 2018 5:06 pm

Έστω A και B τα κοινά σημεία δύο κύκλων (\omega_{1}) και (\omega_{2}), και CD η κοινή εφαπτομένη τους (C και D τα σημεία επαφής, με το σημείο B να βρίσκεται πλησιέστερα της ευθείας CD από ότι το A). Έστω O_{a}, O_{b} τα περίκεντρα των τριγώνων CAD, CBD αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος O_{a}O_{b} ανήκει στην ευθεία AB.
probl1fin.png
probl1fin.png (67.42 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1632
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Απρ 12, 2018 6:14 pm

giannimani έγραψε:
Πέμ Απρ 12, 2018 5:06 pm
Έστω A και B τα κοινά σημεία δύο κύκλων (\omega_{1}) και (\omega_{2}), και CD η κοινή εφαπτομένη τους (C και D τα σημεία επαφής, με το σημείο B να βρίσκεται πλησιέστερα της ευθείας CD από ότι το A). Έστω O_{a}, O_{b} τα περίκεντρα των τριγώνων CAD, CBD αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος O_{a}O_{b} ανήκει στην ευθεία AB.
probl1fin.png
Καλησπέρα.

Είναι \widehat{CBD}=180^\circ-\widehat{BCD}-\widehat{BDC}=180^\circ-\widehat{CAB}-\widehat{BAD}=180^\circ-\widehat{CAD}.

Επομένως, με Ν. Ημιτόνων, 2CO_a=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CAD}}=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CBD}}=2CO_b, άρα CO_a=CO_b, και με P \equiv O_aO_b \cap CD, το P είναι μέσο του O_aO_b.

Αρκεί πλέον A,B,P συνευθειακά, δηλαδή ότι η AB τέμνει την CD στο μέσο της, ή αλλιώς αν η AB τέμνει την CD στο P', είναι P'C=P'D.

Πράγματι, από δύναμη σημείου P'C^2=P'B \cdot P'A=P'D^2 \Rightarrow P'C=P'D, ό.έ.δ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4052
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Απρ 12, 2018 6:29 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Πέμ Απρ 12, 2018 6:14 pm
giannimani έγραψε:
Πέμ Απρ 12, 2018 5:06 pm
Έστω A και B τα κοινά σημεία δύο κύκλων (\omega_{1}) και (\omega_{2}), και CD η κοινή εφαπτομένη τους (C και D τα σημεία επαφής, με το σημείο B να βρίσκεται πλησιέστερα της ευθείας CD από ότι το A). Έστω O_{a}, O_{b} τα περίκεντρα των τριγώνων CAD, CBD αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος O_{a}O_{b} ανήκει στην ευθεία AB.probl1fin.png
Καλησπέρα.

Είναι \widehat{CBD}=180^\circ-\widehat{BCD}-\widehat{BDC}=180^\circ-\widehat{CAB}-\widehat{BAD}=180^\circ-\widehat{CAD}.

Επομένως, με Ν. Ημιτόνων, 2CO_a=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CAD}}=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CBD}}=2CO_b, άρα CO_a=CO_b, και με P \equiv O_aO_b \cap CD, το P είναι μέσο του O_aO_b.

Αρκεί πλέον A,B,P συνευθειακά, δηλαδή ότι η AB τέμνει την CD στο μέσο της, ή αλλιώς αν η AB τέμνει την CD στο P', είναι P'C=P'D.

Πράγματι, από δύναμη σημείου P'C^2=P'B \cdot P'A=P'D^2 \Rightarrow P'C=P'D, ό.έ.δ.
Πράγματι το πρόβλημα είναι ιδιαίτερα εύκολο. Απλά να πω ότι η παραπληρωματικότητα των γωνιών των τριγώνων (όπως όμορφα την αποδεικνύεις Ορέστη) οδηγεί άμεσα στην ισότητα των δύο κύκλων και συνεπώς στο ρόμβο κ.λ.π


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης