Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Από τη Ρωσία με αγάπη!!
στην πλευρά αντίστοιχα. Έστω ακόμη το σημείο τομής των εφαπτομένων του περιγεγραμμένου
κύκλου του στις κορυφές και . Η κάθετος της στο τέμνει την στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι το ανήκει στην ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών και του .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Όμορφο!!! πρόβλημα Γιάννη!. Όχι ιδιαίτερα δύσκολο και πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί. Θα επανέλθω το βραδάκι (ίσως) με μια εύκολη (σχετικά) λύση (αν δεν απαντηθεί με τον ίδιο τρόπο) γιατί τώρα είμαι Βρυξέλλες σε μετακόμισηgiannimani έγραψε: ↑Παρ Μαρ 30, 2018 9:31 pmexer.pngΈστω και τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας ενός τριγώνου
στην πλευρά αντίστοιχα. Έστω ακόμη το σημείο τομής των εφαπτομένων του περιγεγραμμένου
κύκλου του στις κορυφές και . Η κάθετος της στο τέμνει την στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι το ανήκει στην ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών και του .
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Αν τότε με την εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου προκύπτει ότι το είναι το μέσο του τόξου και μεgiannimani έγραψε: ↑Παρ Μαρ 30, 2018 9:31 pmexer.pngΈστω και τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας ενός τριγώνου στην πλευρά αντίστοιχα. Έστω ακόμη το σημείο τομής των εφαπτομένων του περιγεγραμμένου κύκλου του στις κορυφές και . Η κάθετος της στο τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι το ανήκει στην ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών και του .
εφαπτομενικά τμήματα του κύκλου , θα είναι μεσοκάθετη της και έστω . Από (
εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος του και διάμετρος του συνευθειακά.
Στο τρίγωνο το είναι το ορθόκεντρό του (σημείο τομής των υψών του και συνεπώς και με διάμετρος του
συνευθειακά , με και ας είναι και . Με τα μέσα του τριγώνου το μέσο της .
Με την πολική του ως προς τον κύκλο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική (με , και συνεπώς και η δέσμη
είναι αρμονική και με το μέσο της .
Ομοίως από .
Από και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.
* Το όπως ορίστηκε πιο πάνω ταυτίζεται με το λόγω των αρμονικών σειρών (λόγω της πολικής του ως προς τον
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Εναλλακτικά,με όπως ορίστηκε παραπάνω και ,αρκεί αρμονική,το οποίο είναι άμεσο επειδή
αρμονική(διάμεσος-συμμετροδιάμεσος είναι ισογώνιες).
αρμονική(διάμεσος-συμμετροδιάμεσος είναι ισογώνιες).
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
ας μου επιτραπεί να διαφωνήσω "χαλαρά!"), το θεωρώ περιττό.
Στη συνέχεια αφού αναφέρω ότι το πρόβλημα αυτό δόθηκε στο διαγωνισμό που γίνεται στη Ρωσία προς τιμή του
μεγάλου γεωμέτρη I.F. Sharygin (1937 - 2004) τη χρονια 2015, για τις τάξεις 10-11, δίνω μια λύση που στηρίζεται στην υπόδειξη της επιτροπής του διαγωνισμού.
Εφόσον η είναι η πολική του ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του , προκύπτει ότι το ανήκει στην πολική του .
Επίσης από το γεγονός ότι , έχουμε ότι το ανήκει στην πολική του . Ως εκ τούτου η είναι η πολική του ως προς τον ,
οπότε λόγω ορισμού της πολικής , και αν , τα μέσα των , αντίστοιχα, τότε ,και επομένως, .
Όμως, από , και εφόσον το μέσο του , τότε
(η διάμεσος επί την υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου ), δηλαδή, η εφαπτομένη του .
Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι το έχει ίσες δυνάμεις ως προς τον κύκλο και το σημείο , οπότε ανήκει στον ριζικό άξονα αυτών,
και εφόσον , προκύπτει ότι ο ριζικός άξονας είναι η ευθεία .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το ανήκει σε αυτόν τον άξονα.
Ο κύκλος διαμέτρου είναι ο απολλώνιος κύκλος του , και σύμφωνα με γνωστό πρόβλημα (*) η κοινή χορδή αυτού και του είναι
η συμμετροδιάμεσος , που είναικαι ο ριζικός άξονας των δύο αυτών κύκλων. Το από υπόθεση ανήκει σε αυτόν το ριζικό άξονα.
Επειδή όμως και η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας του κύκλου και του σημείου , τότε το θα είναι το κοινό σημείο των τριών ριζικών αξόνων, δηλαδή .
(*) Αποδεικνύουμε το πρόβλημα που χρησιμοποιήσαμε.
Έστω ότι η τέμνει τη και τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα.
Τότε, από την ομοιότητα των τριγώνων και έχουμε : .
Από την ομοιότητα των τριγώνων και έχουμε : .
Με διαίρεση των δύο παραπάνω, προκύπτει ότι
Αλλά το είναι σημείο του απολλώνιου κύκλου , οπότε
Η (1) λόγω της (2) γίνεται , που από αυτό
προκύπτει ότι η συμμετροδιάμεσος του .
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Αρκεί να δείξω ότι το είναι μέσο του
Στο σχήμα θεωρούνται γνωστά:
Η συμμετροδιάμεσος είναι η κοινή χορδή.
Οι κύκλοι είναι ορθογώνιοι και η πολική του κέντρου του ενός, ως προς τον άλλον, είναι η κοινή χορδή.
To είναι το συζυγές αρμονικό του ως προς τα , άρα ανήκει στην πολική του , ως προς τον κύκλο .
Επειδή, στην συνέχεια, το ανήκει στην πολική του , από το θεώρημα του Hire το ανήκει στην πολική του , επομένως η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η . Έτσι η είναι κάθετη στην και επειδή και η είναι κάθετη στην τα είναι συνευθειακά.
Αφού, τώρα, το ανήκει στη πολική του , ως προς τον δεξιά κύκλο, το ανήκει στην πολική του και επειδή η εφάπτεται του κύκλου αυτού, συμπεραίνουμε ότι η πολική του είναι η ευθεία και η εφάπτεται στον κύκλο δεξιά. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι που σημαίνει ότι το είναι μέσο του , και η απόδειξη έγινε.
Στο σχήμα θεωρούνται γνωστά:
Η συμμετροδιάμεσος είναι η κοινή χορδή.
Οι κύκλοι είναι ορθογώνιοι και η πολική του κέντρου του ενός, ως προς τον άλλον, είναι η κοινή χορδή.
To είναι το συζυγές αρμονικό του ως προς τα , άρα ανήκει στην πολική του , ως προς τον κύκλο .
Επειδή, στην συνέχεια, το ανήκει στην πολική του , από το θεώρημα του Hire το ανήκει στην πολική του , επομένως η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η . Έτσι η είναι κάθετη στην και επειδή και η είναι κάθετη στην τα είναι συνευθειακά.
Αφού, τώρα, το ανήκει στη πολική του , ως προς τον δεξιά κύκλο, το ανήκει στην πολική του και επειδή η εφάπτεται του κύκλου αυτού, συμπεραίνουμε ότι η πολική του είναι η ευθεία και η εφάπτεται στον κύκλο δεξιά. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι που σημαίνει ότι το είναι μέσο του , και η απόδειξη έγινε.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Ας είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ισοσκελούς τριγώνουgiannimani έγραψε: ↑Παρ Μαρ 30, 2018 9:31 pmexer.pngΈστω και τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας ενός τριγώνου
στην πλευρά αντίστοιχα. Έστω ακόμη το σημείο τομής των εφαπτομένων του περιγεγραμμένου
κύκλου του στις κορυφές και . Η κάθετος της στο τέμνει την στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι το ανήκει στην ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών και του .
με την και
Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Από τη Ρωσία με αγάπη 1.png (47.58 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες