ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σε τρίγωνο ABC

αποδείξτε ότι

$\displaystyle cosA+cosB+cosC\leq \frac{7}{6}+\frac{1}{3}cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2}$

#2

Η ζητούμενη είναι άμεση συνέπεια των

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ $\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R},}$

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ $\displaystyle{\cos \frac{A-B}{2}\geq \sqrt{\frac{2r}{R}}}$ .

Πράγματι, τότε αρκεί να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{7}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2r}{R}}^3\geq 1+\frac{r}{R},}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{\frac{7}{6}+\frac{x^3}{3}\geq 1+\frac{x^2}{2}\iff (2x+1)(x-1)^2\geq 0,}$

όπου τέθηκε $\displaystyle{\sqrt{\frac{2r}{R}}=x.}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Κατ' αρχήν να ευχαριστήσω το Θάνο για τη λύση του.
Θέλω να γράψω το πώς κατέληξα στην ανισότητα αυτή.

Στην παρακάτω δημοσίευση viewtopic.php?f=58&t=38752&p=294965#p294965 αποδείχθηκε ότι

$\displaystyle\sigma \upsilon \nu^{2} \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}+\sigma \upsilon \nu ^{2} \frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}+\sigma \upsilon \nu^{2} \frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}-1=2\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}\cdot\sigma \upsilon \nu \frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}$

Μετά θυμήθηκα μια άλλη δημοσίευση , την viewtopic.php?f=112&t=41248&p=192177&hi ... .1#p192177

Από εκεί και μετά η ανισότητα της δεύτερης παραπομπής δίνει την προτεινόμενη ανισότητα αν αντικατασταθεί το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων από την πρώτη παραπομπή.

Και κάτι ακόμα...

H προτεινόμενη ανισότητα γράφεται επίσης ως

$\displaystyle1+\frac{r}{R}\leq \frac{7}{6}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\upsilon _{\alpha }}{\delta _{\alpha }}\cdot \frac{\upsilon _{\beta }}{\delta _{\beta }}\cdot\frac{\upsilon _{\gamma }}{\delta _{\gamma }}$

που ισοδυναμεί με την

$\displaystyle\frac{r}{R}\leq \frac{1}{6}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\upsilon _{\alpha }}{\delta _{\alpha }}\cdot \frac{\upsilon _{\beta }}{\delta _{\beta }}\cdot\frac{\upsilon _{\gamma }}{\delta _{\gamma }}$

η οποία είναι πιο σφικτή από την ανισότητα Euler $R\leq2r$

ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Re: ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Re: ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Μέλη σε σύνδεση