ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Έστω τρίγωνο ABC

με $\hat{A}> \hat{B}>\hat{C} .$
Έστω $AH_{1} ,AD_{1}$ το ύψος και η διχοτόμος του ABC

που αντιστοιχούν στην πλευρά

Έστω $BH_{2} ,BD_{2}$ το ύψος και η διχοτόμος του ABC

που αντιστοιχούν στην πλευρά

Έστω $CH_{3} ,CD_{3}$ το ύψος και η διχοτόμος του ABC

που αντιστοιχούν στην πλευρά

Αποδείξτε ότι
$\displaystyle \frac{CH_{3}}{H_{3}D_{3}}\cdot \frac{AH_{1}}{H_{1}D_{1}}-\frac{AH_{1}}{H_{1}D_{1}}\cdot \frac{BH_{2}}{H_{2}D_{2}}-\frac{BH_{2}}{H_{2}D_{2}}\cdot \frac{CH_{3}}{H_{3}D_{3}}=1$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 04, 2018 11:14 pm
Έστω τρίγωνο με $\hat{A}> \hat{B}>\hat{C} .$
Έστω $AH_{1} ,AD_{1}$ το ύψος και η διχοτόμος του που αντιστοιχούν στην πλευρά
Έστω $BH_{2} ,BD_{2}$ το ύψος και η διχοτόμος του που αντιστοιχούν στην πλευρά
Έστω $CH_{3} ,CD_{3}$ το ύψος και η διχοτόμος του που αντιστοιχούν στην πλευρά
Αποδείξτε ότι
$\displaystyle \frac{CH_{3}}{H_{3}D_{3}}\cdot \frac{AH_{1}}{H_{1}D_{1}}-\frac{AH_{1}}{H_{1}D_{1}}\cdot \frac{BH_{2}}{H_{2}D_{2}}-\frac{BH_{2}}{H_{2}D_{2}}\cdot \frac{CH_{3}}{H_{3}D_{3}}=1$

Σύμφωνα με αυτό, η αποδεικτέα σχέση γράφεται:

$\displaystyle \cot \frac{{A - B}}{2}\cot \frac{{B - C}}{2} + \cot \frac{{B - C}}{2}\cot \frac{{C - A}}{2} + \cot \frac{{C - A}}{2}\cot \frac{{A - B}}{2} = 1$

που ισχύει επειδή $\displaystyle \frac{{B - C}}{2} + \frac{{A - B}}{2} + \frac{{C - A}}{2} = 0.$ Πράγματι αν $\displaystyle a + b + c = 0 \Leftrightarrow \cot (a + b) = - \cot c$

$\displaystyle \frac{{\cot a\cot b - 1}}{{\cot a + \cot b}} = - \cot c \Leftrightarrow \cot a\cot b + \cot b\cot c + \cot a\cot c = 1$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Αυτή είναι και η δική μου σκέψη Γιώργο. Νομίζω ότι κάτι προσφέρω προτείνοντας θέματα σαν κι αυτό...

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ...

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ...

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ...

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ...

Μέλη σε σύνδεση