ΣΚΑΡΩΘΗΚΕ ΣΗΜΕΡΑ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σήμερα έκατσα για λίγο στο γραφείο σε ένα κενό και βρήκα το παρακάτω θέμα , με χαρά σας το προτείνω...

Έστω τρίγωνο ABC

με $\hat{A}> \hat{B}>\hat{C} .$
Έστω $AH_{1} ,AD_{1}$ το ύψος και η διχοτόμος του ABC

που αντιστοιχούν στην πλευρά

Έστω $BH_{2} ,BD_{2}$ το ύψος και η διχοτόμος του ABC

που αντιστοιχούν στην πλευρά

Έστω $CH_{3} ,CD_{3}$ το ύψος και η διχοτόμος του ABC

που αντιστοιχούν στην πλευρά

Αποδείξτε ότι
$\displaystyle\frac{H_{1}D_{1}}{AH_{1}} +\frac{H_{3}D_{3}}{CH_{3}}+\frac{H_{1}D_{1}}{AH_{1}}\cdot\frac{H_{2}D_{2}}{BH_{2}}\cdot \frac{H_{3}D_{3}}{CH_{3}} =\frac{H_{2}D_{2}}{BH_{2}}$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 2:26 pm
Σήμερα έκατσα για λίγο στο γραφείο σε ένα κενό και βρήκα το παρακάτω θέμα , με χαρά σας το προτείνω...

Έστω τρίγωνο με $\hat{A}> \hat{B}>\hat{C} .$
Έστω $AH_{1} ,AD_{1}$ το ύψος και η διχοτόμος του που αντιστοιχούν στην πλευρά
Έστω $BH_{2} ,BD_{2}$ το ύψος και η διχοτόμος του που αντιστοιχούν στην πλευρά
Έστω $CH_{3} ,CD_{3}$ το ύψος και η διχοτόμος του που αντιστοιχούν στην πλευρά
Αποδείξτε ότι
$\displaystyle\frac{H_{1}D_{1}}{AH_{1}} +\frac{H_{3}D_{3}}{CH_{3}}+\frac{H_{1}D_{1}}{AH_{1}}\cdot\frac{H_{2}D_{2}}{BH_{2}}\cdot \frac{H_{3}D_{3}}{CH_{3}} =\frac{H_{2}D_{2}}{BH_{2}}$

Καλημέρα Τηλέμαχε!

: Σκαρώθηκε σήμερα.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο η γωνία ύψους και διχοτόμου, που άγονται από την ίδια κορυφή,

ισούται με την ημιδιαφορά των δύο άλλων γωνιών. Άρα η αποδεικτέα σχέση γράφεται:

$\displaystyle \tan \frac{{B - C}}{2} + \tan \frac{{A - B}}{2} + \tan \frac{{B - C}}{2} \cdot \tan \frac{{A - C}}{2} \cdot \tan \frac{{A - B}}{2} = \tan \frac{{A - C}}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tan \frac{{B - C}}{2} + \tan \frac{{A - B}}{2} + \tan \frac{{C - A}}{2} = \tan \frac{{B - C}}{2} \cdot \tan \frac{{C - A}}{2} \cdot \tan \frac{{A - B}}{2}$

που ισχύει, επειδή $\displaystyle \frac{{B - C}}{2} + \frac{{A - B}}{2} + \frac{{C - A}}{2} = 0$

Πράγματι αν $\displaystyle a + b + c = 0 \Leftrightarrow a + b = - c \Leftrightarrow \tan (a + b) = - \tan c \Leftrightarrow \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = - \tan c \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c$ (υποτίθεται ότι οι εφαπτόμενες ορίζονται).

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Ακριβώς έτσι Γιώργο...

ΣΚΑΡΩΘΗΚΕ ΣΗΜΕΡΑ...

ΣΚΑΡΩΘΗΚΕ ΣΗΜΕΡΑ...

Re: ΣΚΑΡΩΘΗΚΕ ΣΗΜΕΡΑ...

Re: ΣΚΑΡΩΘΗΚΕ ΣΗΜΕΡΑ...

Μέλη σε σύνδεση