Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8

#1

: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_8.png (32.11 KiB) Προβλήθηκε 1194 φορές

Έστω ισοσκελές αμβλυγώνιο, $\vartriangle ABC\,(AB = AC)$ και

το ύψος του .

Ο κύκλος μου διέρχεται από τα B,D

και το μέσο

της πλευράς

, τέμνει την ευθεία

στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ .

Η παράλληλη από το

στη

τέμνει τις $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ στα $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα.

Δείξετε ότι AN = NH

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Φέρνουμε την

. Το τρίγωνο DMB

είναι ισοσκελές (λήμμα στο ορθογώνιο BDC

) και είναι όμοιο με το BAC

, καθώς $\widehat{DBM}=\widehat{CBA}$ .

Επομένως είναι $\widehat{BAC}=\widehat{DMB}$ , συνεπώς $\widehat{ZAB}=\widehat{BZD}$ .

Έπεται λοιπόν πως τα τρίγωνα BZA

και

είναι όμοια (αφού έχουν και την κοινή γωνία $\widehat{ZBD}$ ).

Άρα $\widehat{BZA}=\widehat{BDZ}$ , δηλαδή $\widehat{BZE}=\widehat{BEZ}$ .

Συμπεραίνουμε λοιπόν πως το τρίγωνο ZBE

είναι ισοσκελές με BZ=BE

, συνεπώς $\widehat{ZDB}=\widehat{BDE}\Leftrightarrow \widehat{ZDA}=\widehat{ADE}$ .

Επειδή $\widehat{ADC}=90^o$ , προκύπτει ότι η τετράδα (Z, E, A, C)

είναι αρμονική, δηλαδή οι δέσμες D(Z, N, A, H)

αποτελούν αρμονική δέσμη, και αφού DZ//AH

είναι

(γνωστό λήμμα στις δέσμες)

#3

Από $AM\perp BM$ και $CD\perp BD$ , προκύπτει ότι το σημείο τομής των ευθειών $AM,\ CD$ , έστω το

, ανήκει στον περίκυκλο έστω (O)

του τριγώνου $\vartriangle BMD$

και ταυτίζεται με το αντιδιαμετρικό σημείο του

.

Η σημειοσειρά $C,\ E,\ A,\ Z$ τώρα, είναι αρμονική (*) και επομένως, η δέσμη $D\ldotp CEAZ$ είναι αρμονική.

Από την αρμονική αυτή δέσμη, λόγω $AH\parallel DZ$ , συμπεραίνεται ότι AN = NH

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

(*) Γιατί η πολική ευθεία του σημείου $C\equiv BM\cap FD$ περνάει από το σημείο $A\equiv BD\cap MF$ .

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 15, 2018 1:44 pm
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_8.png

Έστω ισοσκελές αμβλυγώνιο, $\vartriangle ABC\,(AB = AC)$ και το ύψος του .

Ο κύκλος μου διέρχεται από τα και το μέσο της πλευράς , τέμνει την ευθεία στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ .

Η παράλληλη από το στη τέμνει τις $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ στα $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα.

Δείξετε ότι .

Επειδή $\displaystyle \angle ADC = {90^0}$ είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι $\displaystyle \angle x = \angle y$

Είναι , $\displaystyle \angle KDB = {90^0} \Rightarrow KB$ διάμετρος $\displaystyle \Rightarrow KM \bot BC$ .

Ακόμη, $\displaystyle AM \bot BC$ ,άρα $\displaystyle K,A,M$ συνευθειακά και $\displaystyle A$ θα είναι ορθόκεντρο του $\displaystyle \vartriangle KCB \Rightarrow CAZ \bot KB$

Επομένως, $\displaystyle \boxed{\angle x = \angle y}$

: M.E.E.8.png (27.54 KiB) Προβλήθηκε 1139 φορές

#5

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 15, 2018 1:44 pm
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_8.png

Έστω ισοσκελές αμβλυγώνιο, $\vartriangle ABC\,(AB = AC)$ και το ύψος του .

Ο κύκλος μου διέρχεται από τα και το μέσο της πλευράς , τέμνει την ευθεία στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ .

Η παράλληλη από το στη τέμνει τις $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ στα $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα.

Δείξετε ότι .

: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8.png (26.42 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Είναι

οπότε όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα τα τρίγωνα BZC, BMZ

είναι

όμοια και $B\widehat ZC= B\widehat MZ$ . Αλλά, $\displaystyle B\widehat MZ = B\widehat DZ\mathop = \limits^{ZD||AH} H\widehat AD$ και $\displaystyle B\widehat ZC = B\widehat ZE = B\widehat DE.$ Άρα:

$\displaystyle A\widehat DE = H\widehat AD$ κι επειδή είναι $\displaystyle A\widehat DH = {90^0},$ θα είναι $\boxed{AN=NH}$

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 8

Μέλη σε σύνδεση