Διπλόκυκλος

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλόκυκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 13, 2018 12:05 pm

Διπλόκυκλος.png
Διπλόκυκλος.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
Οι κύκλοι (O,r) , (K,2r) κινούνται , ώστε να τμηθούν στα A,B και έστω SP το ένα κοινό

εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Οι PA,SB τέμνουν τους "απέναντι" κύκλους στα Q,T .

Βρείτε μια ικανή συνθήκη , ώστε το τμήμα QT να είναι επίσης κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο .

Η συνθήκη που θα βρείτε , πρέπει να δίνει και τη δυνατότητα κατασκευής του σχήματος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλόκυκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 13, 2018 7:14 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 12:05 pm
Διπλόκυκλος.pngΟι κύκλοι (O,r) , (K,2r) κινούνται , ώστε να τμηθούν στα A,B και έστω SP το ένα κοινό

εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Οι PA,SB τέμνουν τους "απέναντι" κύκλους στα Q,T .

Βρείτε μια ικανή συνθήκη , ώστε το τμήμα QT να είναι επίσης κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο .

Η συνθήκη που θα βρείτε , πρέπει να δίνει και τη δυνατότητα κατασκευής του σχήματος .
Διπλόκυκλος.png
Διπλόκυκλος.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Μία συνθήκη που προκύπτει εύκολα είναι AP=AQ=BS=BT. Αυτή όμως δεν οδηγεί στην κατασκευή.

Η άλλη που δίνει τη δυνατότητα κατασκευής τίθεται προς απόδειξη και είναι \boxed{OK=2r\sqrt 2}

Αύριο η λύση αν δεν απαντηθεί.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλόκυκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 14, 2018 11:15 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 12:05 pm
Διπλόκυκλος.pngΟι κύκλοι (O,r) , (K,2r) κινούνται , ώστε να τμηθούν στα A,B και έστω SP το ένα κοινό

εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Οι PA,SB τέμνουν τους "απέναντι" κύκλους στα Q,T .

Βρείτε μια ικανή συνθήκη , ώστε το τμήμα QT να είναι επίσης κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο .

Η συνθήκη που θα βρείτε , πρέπει να δίνει και τη δυνατότητα κατασκευής του σχήματος .
Πάμε τώρα στη λύση.
Διπλόκυκλος.β.png
Διπλόκυκλος.β.png (24.56 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές
\displaystyle P{S^2} = Q{T^2} \Leftrightarrow PA \cdot PQ = QA \cdot QP \Rightarrow AP = AQ = BS = BT και \boxed{PQ = PS\sqrt 2  = QT\sqrt 2 } (1)

Τα ισοσκελή τρίγωνα OSQ, KPT έχουν τις πλευρές τους παράλληλες και θα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 1:2.

Άρα PT=2SQ. Η κοινή χορδή των δύο κύκλων τέμνει τις SP, QT στα L, N αντίστοιχα. Εύκολα, BN=LA=\dfrac{SQ}{2}

Αλλά LN είναι η διάμεσος του τραπεζίου SQTP, άρα \displaystyle LN = \frac{{PT + SQ}}{2} = \frac{{3SQ}}{2} \Rightarrow \boxed{AN||=SQ} δηλαδή το

ASQN είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι μπλε γωνίες είναι ίσες με τις πορτοκαλί. Άρα το τρίγωνο PQT είναι ισοσκελές

και όμοιο με το OPK, απ' όπου \displaystyle \frac{{PQ}}{{OK}} = \frac{{QT}}{{2r}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{QT\sqrt 2 }}{{OK}} = \frac{{QT}}{{2r}} \Leftrightarrow \boxed{OK=2r\sqrt 2}

Κατασκευάζουμε λοιπόν τους κύκλους (O, r), (K, 2r) ώστε OK=2r\sqrt 2. Η υπόλοιπη κατασκευή είναι πλέον στοιχειώδης.


Το σχήμα έχει πολλές ακόμα δυνατότητες. Συγχαρητήρια :clap2: για μία ακόμη φορά στον Θανάση για τα ωραία θέματα που μας προμηθεύει!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5744
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλόκυκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 14, 2018 9:47 pm

Διπλόκυκλος_new.png
Διπλόκυκλος_new.png (39.7 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα και ας είναι L το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο κύκλων .

Θέτω : OK = d\,\,,\,\,AP = y\,\,,\,\,BQ = x Είναι προφανές ότι :

PS = SL = LQ = QT = PB = 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,PA = AQ = BS = BT = y. Είναι επίσης εύκολο ( αλλά και γνωστό) , ότι \vartriangle BPQ \approx \vartriangle AKO οπότε έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{PQ}}{{KO}} = \frac{{PB}}{{KA}} \hfill \\ 
  P{S^2} = PA \cdot PQ \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{2y}}{d} = \frac{{2x}}{{2r}} \hfill \\ 
  4{x^2} = 3{y^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{d = 2r\sqrt 2 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης