Σελίδα 1 από 1

Συνευθειακότητα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 24, 2017 3:02 pm
από george visvikis
Προκειμένου να τεκμηριώσω την κατασκευή μου εδώ θεώρησα εκ παραδρομής ότι τα σημεία A, P, D είναι συνευθειακά.

Το έμπειρο όμως μάτι του Νίκου Φραγκάκη, ὅ τὰ πάνθ'ὁρᾷ, το πρόσεξε. Το θέτω λοιπόν εδώ ως άσκηση.
Συνευθειακότητα.png
Συνευθειακότητα.png (21.64 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές
Δύο ίσοι κύκλοι (O), (K) εφάπτονται εξωτερικά στο P. Από σημείο S του (O) φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα SC, SD στον

κύκλο (K) που τέμνουν τον (O) στα A, B αντίστοιχα. Αν AC=2BD, να δείξετε ότι τα σημεία A, P, D είναι συνευθειακά.

Re: Συνευθειακότητα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 27, 2017 1:57 pm
από george visvikis
Επαναφορά με υπόδειξη:

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο, το παρακάτω λήμμα:

Λήμμα: Δύο κύκλοι (O), (K) (όχι υποχρεωτικά ίσοι) εφάπτονται εξωτερικά στο P. Από σημείο S του (O) φέρνω το εφαπτόμενο

τμήμα SD στον κύκλο (K) που τέμνει τον (O) στο B. Να δείξετε ότι η PD διχοτομεί την εξωτερική γωνία του τριγώνου SPB.
Lemma.Collinear.png
Lemma.Collinear.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές
Απόδειξη: Έστω ότι η SP τέμνει τον (K) στο E και η DP τον (O) στο A. Είναι γνωστό ότι AS||DE.

\displaystyle S\widehat AD = P\widehat DE \Leftrightarrow P\widehat BD = P\widehat DE \Leftrightarrow {180^0} - (\theta  + \varphi ) = {180^0} - (\omega  + \varphi ) \Leftrightarrow \boxed{\theta=\omega}