Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!
Έστω τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο και έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις στα . Έστω το μέσο του τόξου . Ακόμα έστω σημείο του τμήματος ώστε . Η τέμνει τον στο . Να αποδειχθεί ότι η διχοτομεί τη γωνία .
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!
Χρόνια πολλά!
Επαναφέρω την άσκηση. Πρόκειται για ένα αποτέλεσμα που έφτασα στα πλαίσια λύσης άλλης άσκησης.
Επαναφέρω την άσκηση. Πρόκειται για ένα αποτέλεσμα που έφτασα στα πλαίσια λύσης άλλης άσκησης.
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!
Τελευταία Επαναφορά. Αύριο θα βάλω τη λύση μου...
Houston, we have a problem!
Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!
Ας είναι το έγκεντρο του τριγώνου και το άλλο σημείο τομής του
περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τον κύκλο , διαμέτρου .
Η αντιστροφή του κύκλου με πόλο το σημείο του και δύναμη αντιστροφής είναι η ευθεία .
(Ενώ ο κύκλος αντιστροφής είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του .)
Σ αυτή την αντιστροφή το έχει αντίστροφο το σημείο τομής, έστω , της με τη . Το είναι προφανώς μέσο του .
Με όμοιους συλλογισμούς τα αντιστοιχίζονται στο μέσα των .
Δηλαδή στον κύκλο του στο τρίγωνο . Έτσι το αντιστοιχίζεται στο , πόδα του ύψους και η διέρχεται έτσι από το .
Τώρα ας είναι το αντιδιαμετρικό του ( στον κύκλο ).
Η πολική του ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο είναι η ευθεία που τέμνει την έστω στο .
Άρα η πολική του θα διέρχεται από το . Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου που έχει φορέα την ευθεία .
Η πολική του θα διέρχεται έτσι από το είναι δηλαδή η και συνεπώς τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των
και αφού , αυτή (η ) θα διχοτομεί τη γωνία .
περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τον κύκλο , διαμέτρου .
Η αντιστροφή του κύκλου με πόλο το σημείο του και δύναμη αντιστροφής είναι η ευθεία .
(Ενώ ο κύκλος αντιστροφής είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του .)
Σ αυτή την αντιστροφή το έχει αντίστροφο το σημείο τομής, έστω , της με τη . Το είναι προφανώς μέσο του .
Με όμοιους συλλογισμούς τα αντιστοιχίζονται στο μέσα των .
Δηλαδή στον κύκλο του στο τρίγωνο . Έτσι το αντιστοιχίζεται στο , πόδα του ύψους και η διέρχεται έτσι από το .
Τώρα ας είναι το αντιδιαμετρικό του ( στον κύκλο ).
Η πολική του ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο είναι η ευθεία που τέμνει την έστω στο .
Άρα η πολική του θα διέρχεται από το . Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου που έχει φορέα την ευθεία .
Η πολική του θα διέρχεται έτσι από το είναι δηλαδή η και συνεπώς τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των
και αφού , αυτή (η ) θα διχοτομεί τη γωνία .
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!
Έστω η τομή της με την . Είναι γνωστό πως η τετράδα είναι αρμονική (αφού οι συντρέχουν στο και θα σχηματιστεί το πλήρες τετράπλευρο κλπ).
Αφού τώρα , προκύπτει από γνωστή ιδιότητα πως η είναι διχοτόμος της . Αφού είναι , προκύπτει ότι (1)
Ακόμα έχουμε πως , άρα αφού είναι το μέσο του τόξου , έχουμε πως .
Επιπλέον είναι γνωστό πως .
Επειδή , προκύπτει ότι το είναι εγγράψιμο τετράπλευρο. Όμοια και το είναι εγγράψιμο τετράπλευρο.
Επομένως και . Από την (1) λοιπόν προκύπτει ότι .
Συνεπώς αν εκμεταλλευτούμε και ότι η διχοτομεί την , προκύπτει ότι η διχοτομεί την .
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!
Καλησπέρα, άλλη μία λύση. Νομίζω πάρα πολύ απλή.
Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα αφού
Επομένως Όμως είναι
Επειδή προκύπτει ότι
Συνεπώς
Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα αφού
Επομένως Όμως είναι
Επειδή προκύπτει ότι
Συνεπώς
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες