Αντιδιαμετρικά

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12747
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αντιδιαμετρικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 21, 2017 12:47 pm

Αντιδιαμετρικά.png
Αντιδιαμετρικά.png (19.15 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές
Από σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB ενός κύκλου , φέραμε τα εφαπτόμενα

τμήματα SP,SQ και τμήμα PH \perp AQ , του οποίου το μέσο ονομάσαμε M .

Η ημιευθεία AM τέμνει τον κύκλο στο N , ενώ η προέκταση της SN τον τέμνει το T .

Δείξτε ότι το σημείο T είναι το αντιδιαμετρικό του Q .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Αντιδιαμετρικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Νοέμ 21, 2017 4:39 pm

Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο TPNQ είναι αρμονικό, καθώς το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία P, Q, δηλαδή το S, είναι στην διαγώνιο TN.

Επομένως από γνωστό λήμμα έχουμε πως η τετράδα δεσμών A(T, N, P, Q), που ταυτίζεται με την A(T, N, P, H) είναι αρμονική.

Αφού όμως η AN διχοτομεί την PH, έχουμε από γνωστό λήμμα πως AT//PH, και αφού AQ\perp PH, προκύπτει πως AT\perp AQ, άρα τα T, Q είναι αντιδιαμετρικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4105
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αντιδιαμετρικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Νοέμ 21, 2017 5:05 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Νοέμ 21, 2017 4:39 pm
Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο TPNQ είναι αρμονικό, καθώς το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία P, Q, δηλαδή το S, είναι στην διαγώνιο TN.

Επομένως από γνωστό λήμμα έχουμε πως η τετράδα δεσμών A(T, N, P, Q), που ταυτίζεται με την A(T, N, P, H) είναι αρμονική.

Αφού όμως η AN διχοτομεί την PH, έχουμε από γνωστό λήμμα πως AT//PH, και αφού AQ\perp PH, προκύπτει πως AT\perp AQ, άρα τα T, Q είναι αντιδιαμετρικά.
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8107
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αντιδιαμετρικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 22, 2017 12:53 pm

Αντιδιαμετρικά

Αφού δώσω τα εύσημα στον Διονύση για την ωραία απάντηση , δίνω και τα εύσημα στον Θανάση για την ωραία ( μάλλον δικής του κατασκευής ) άσκηση ,

αλλά και για τις τόσο ωραίες ασκήσεις που καθημερινά μας ενθουσιάζουν. :clap2: :clap2:

Τώρα δίνω τις δύο προτάσεις που αναφέρεται ο Διονύσης και μια παρεμφερή λύση με πολικές .
Λήμμα 1_αρμονικότητας.png
Λήμμα 1_αρμονικότητας.png (20.71 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές


1. Έχω ένα κύκλο διαμέτρου AB. Από σημείο S της ευθείας AB φέρνω τις εφαπτόμενες SP,SQ και μια τυχαία τέμνουσα SNT.

Αν οι ευθείες AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ τμηθούν στο E και οι AN\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ στο G , τότε η πολική του S ως προς τον κύκλο είναι η PQ

ενώ η πολική του E ως προς τον κύκλο είναι η SG και τα σημεία P,Q είναι αρμονικά συζυγή των G,E .

Λήμμα 2_αρμονικότητας.png
Λήμμα 2_αρμονικότητας.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές


2. Έχω τρίγωνο ABC και O το μέσο του BC. Τυχαία ευθεία τέμνει τις ευθείες AB,AO,AC στα σημεία K,M,L αντίστοιχα και στο N την παράλληλη από το A προς τη BC.

Πάλι κι εδώ τα σημεία K,L είναι αρμονικά συζυγή στα M,N . Ισχύουν δε και τα δύο αντίστροφα που μπορούμε να διατυπώσουμε.

Τώρα στην άσκηση μας ισχύει η πρώτη πρόταση αυτούσια ενώ για το τρίγωνο
Αντιδιαμετρικά.png
Αντιδιαμετρικά.png (31.59 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές


AHP το αντίστροφο της δεύτερης πρότασης συνεπώς η \overline {ATE} //HP .

Δηλαδή και AT \bot AQ συνεπώς τα T,Q αντιδιαμετρικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12747
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αντιδιαμετρικά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 22, 2017 7:37 pm

Mongolian  test  2008.png
Mongolian test 2008.png (17.48 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές
Given a circumscribed trapezium  ABCD with circumcircle  \omega and 2 parallel sides  AD,BC

(  BC<AD ) . Tangent line of circle  \omega at the point  C meets with the line  AD at point  P .

 PE is another tangent line of circle  \omega and  E\in\omega. The line  BP meets circle  \omega at point  K .

The line passing through the point  C paralel to  AB intersects with  AE and  AK at points

 N and  M respectively. Prove that  M is midpoint of segment  CN.

Νίκο όπως βλέπεις δεν είναι δική μου δημιουργία αλλά Μογγολική . Βεβαίως έκανα

σοβαρή μεταποίηση , υπολογίζοντας σε στοιχειωδέστερη λύση , που μάλλον δεν ...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8107
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αντιδιαμετρικά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 22, 2017 8:02 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 22, 2017 7:37 pm
Mongolian test 2008.pngGiven a circumscribed trapezium  ABCD with circumcircle  \omega and 2 parallel sides  AD,BC

(  BC<AD ) . Tangent line of circle  \omega at the point  C meets with the line  AD at point  P .

 PE is another tangent line of circle  \omega and  E\in\omega. The line  BP meets circle  \omega at point  K .

The line passing through the point  C paralel to  AB intersects with  AE and  AK at points

 N and  M respectively. Prove that  M is midpoint of segment  CN.

Νίκο όπως βλέπεις δεν είναι δική μου δημιουργία αλλά Μογγολική . Βεβαίως έκανα

σοβαρή μεταποίηση , υπολογίζοντας σε στοιχειωδέστερη λύση , που μάλλον δεν ...
θα ψάξω λοιπόν και για στοιχειώδη λύση .


Δες πάντως ότι
Moggolia_ KARKAR.png
Moggolia_ KARKAR.png (36.4 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές
Η άσκηση της Μογγολίας έχει ίδια εν γένει αντιμετώπιση με τη διασκευασμένη .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες