Σοβαρά ισοπλευρίτις

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σοβαρά ισοπλευρίτις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 09, 2017 11:57 am

Σοβαρά  ισοπλευρίτις.png
Σοβαρά ισοπλευρίτις.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές
Το ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει πλευρά 8 . Ένας κύκλος , ο οποίος εφάπτεται στο μέσο

M της BC , τέμνει την AB σε σημείο P και την AC σε σημείο S , ώστε : AP>AS .

Υπολογίστε : α) την περίμετρο του τριγώνου APS , β) την απόσταση του M από την PS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σοβαρά ισοπλευρίτις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 09, 2017 2:32 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 09, 2017 11:57 am
Σοβαρά ισοπλευρίτις.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει πλευρά 8 . Ένας κύκλος , ο οποίος εφάπτεται στο μέσο

M της BC , τέμνει την AB σε σημείο P και την AC σε σημείο S , ώστε : AP>AS .

Υπολογίστε : α) την περίμετρο του τριγώνου APS , β) την απόσταση του M από την PS .
ισοπλευρίτης.png
ισοπλευρίτης.png (27.95 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές
Διόρθωση:
άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Νοέμ 09, 2017 11:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σοβαρά ισοπλευρίτις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 09, 2017 6:35 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 09, 2017 11:57 am
Σοβαρά ισοπλευρίτις.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει πλευρά 8 . Ένας κύκλος , ο οποίος εφάπτεται στο μέσο

M της BC , τέμνει την AB σε σημείο P και την AC σε σημείο S , ώστε : AP>AS .

Υπολογίστε : α) την περίμετρο του τριγώνου APS , β) την απόσταση του M από την PS .
Ισοπλευρίτις.png
Ισοπλευρίτις.png (17.23 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές
α) Έστω H, E οι προβολές του M στις AB, AC αντίστοιχα. Τότε BH=CE=2, AH=AE=6.

Επειδή AP=AN, θα είναι MP=MN και HP=PD, DS=SE. Έστω p η περίμετρος του τριγώνου APS.

\displaystyle p = AP + PS + SA = AP + PD + DS + SA = AP + PH + SE + SA = 6 + 6 \Leftrightarrow \boxed{p=12}

β) \displaystyle M{D^2} = M{H^2} = BH \cdot HA \Leftrightarrow \boxed{MD=2\sqrt 3}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σοβαρά ισοπλευρίτις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 09, 2017 7:07 pm

Η άσκηση αυτή περιέχει δύο από τα ερωτήματα εκείνου του ( γαλλικού ) θέματος

της αξεπέραστης εργασίας του Γιάννη Κερασαρίδη . Που και που ας λύνουμε καμία :!:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σοβαρά ισοπλευρίτις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 09, 2017 11:04 pm

Σοβαρά ισοπλευρίτης.png
Σοβαρά ισοπλευρίτης.png (29.73 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Έστω N το άλλο σημείο τομής του μεταβλητού κύκλου (O,OM) με την AC. Προφανώς τα τόξα του χορδών MP,MN είναι ίσα συνεπώς η SM είναι

Η εξωτερική διχοτόμος στο σημείο S του \vartriangle APS. Δηλαδή το M είναι το παράκεντρο της πλευράς PS σ αυτό το τρίγωνο.

Αν K η προβολή του M στην AC θα είναι MK = MD = R , ακτίνα του πιο πάνω παρεγγεγραμμένου κύκλου . Επειδή \widehat {CMK} = 30^\circ  \Rightarrow KC = \dfrac{{MC}}{2} = 2

Θα είναι \boxed{R = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 } ( ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 4) .

Είναι επίσης γνωστό ότι η ημιπερίμετρος του τριγώνου APS είναι ίση με AK = 8 - 2 = 6 και άρα η περίμετρος του είναι: \boxed{AP + PS + SA = 12} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης