Από παραλληλόγραμμο.. εγγράψιμο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1207
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Από παραλληλόγραμμο.. εγγράψιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Οκτ 05, 2017 1:54 am

Καλημέρα σε όλους ! Προσωπική επέκταση...ίσως το παρόν θέμα να ''χωράει και σε ελαφρύτερο'' φάκελο.
Αυτό θα φανεί από τις απαντήσεις που ..αναμένονται να δοθούν.
5-10-17 Από παρ-μο ..εγγράψιμο.PNG
5-10-17 Από παρ-μο ..εγγράψιμο.PNG (7.29 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
Στο παραληλλόγραμμο ABCD του σχήματος είναι BZ=DH. Θεωρούμε σημείο E της πλευράς AD

και έστω P η τομή των BE,DZ. Αν ισχύει PC \cdot EH=AD\cdot DE τότε:

Να εξεταστεί αν το τετράπλευρο BEHC είναι εγγράψιμο.

Ευχαριστώ , Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1882
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο.. εγγράψιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Οκτ 05, 2017 12:09 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Οκτ 05, 2017 1:54 am
Καλημέρα σε όλους ! Προσωπική επέκταση...ίσως το παρόν θέμα να ''χωράει και σε ελαφρύτερο'' φάκελο.
Αυτό θα φανεί από τις απαντήσεις που ..αναμένονται να δοθούν.
Από παρ-μο ..εγγράψιμο.
Στο παραληλλόγραμμο ABCD του σχήματος είναι BZ=DH. Θεωρούμε σημείο E της πλευράς AD

και έστω P η τομή των BE,DZ. Αν ισχύει PC \cdot EH=AD\cdot DE τότε:

Να εξεταστεί αν το τετράπλευρο BEHC είναι εγγράψιμο.

Ευχαριστώ , Γιώργος
Καλημέρα

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Από παραλληλόγραμμο ... εγγράψιμο 1.png
Από παραλληλόγραμμο ... εγγράψιμο 1.png (33.46 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές
Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει:

\displaystyle{\frac{EH}{ED}=\frac{AD}{CP}}

ή ακόμα:

\displaystyle{\frac{EH}{ED}=\frac{BC}{CP}\  \ (1)}

Από τις στικτές προεκτάσεις που φαίνονται στο σχήμα και από την ισότητα

\displaystyle{BZ=DH}

προκύπτει ότι \displaystyle{BHDZ} είναι παραλληλόγραμμο.

Επίσης από την παραλληλία των πλευρών των παραλληλογράμμων \displaystyle{BHDZ, ABCD}

και από την κορυφή \displaystyle{O} προκύπτει ακόμα:

\displaystyle{\frac{OD}{OH}=\frac{OP}{OB} \  \ (2)}

\displaystyle{\frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OB} \  \ (3)}

Διαιρώντας τις (2) και (3) κατά μέλη προκύπτει:

\displaystyle{\frac{OC}{OH}=\frac{OP}{OE} \  \ (4)}

άρα:

\displaystyle{PC//EH \  \ (5)}

Από την (5) και από την παραλληλία των πλευρών του παραλληλογράμμου \displaystyle{ABCD} προκύπτει τελικά ότι:

\displaystyle{\hat{\phi}=\hat{\omega}=\hat{\theta} \  \ (6)}

Από την (1) και την (6) προκύπτει η ομοιότητα των τριγώνων \displaystyle{BCP} και \displaystyle{DEH}

από την οποία προκύπτει:

\displaystyle{\hat{CBE}=\hat{DHE} \  \ (7)}

Άρα το τετράπλευρο \displaystyle{BCHE} είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1207
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Από παραλληλόγραμμο.. εγγράψιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 09, 2017 10:22 pm

Χαιρετώ! Ευχαριστώ πολύ τον Κώστα Δόρτσιο για την αναλυτική κάλυψη του θέματος !


Ας σημειώσω μόνο ότι όπως στην ανάρτηση #5 του θέματος Νέα παραλληλία παίρνουμε PC\parallel EH.

Η συνθήκη PC \cdot EH=AD\cdot DE\Leftrightarrow \dfrac{PC}{BC}=\dfrac{DE}{EH} προστέθηκε για την ομοιότητα των τριγώνων BCP,DEH ..
Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης