Σπασμένο ισοσκελές
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Σπασμένο ισοσκελές
Εστω επίσης το σημείο της τέτοιο ώστε .
Αν , το μέσον της και , δείξτε ότι :
α. η διχοτομεί το
β.
υ.γ. το β. ερώτημα είναι από "μεγάλο υψόμετρο" (Peru)
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Το (β) ζητούμενο δεν είναι δύσκολο ( γνωστή ιδιότητα που ισχύει σε κάθε τραπέζιο ) και θα επανέλθω αργότερα.
Το (α) ζητούμενο όμως, είναι από μόνο του είναι ένα όμορφο και δύσκολο "Καλογεράκειο" πρόβλημα και ας δούμε μία αναδιατύπωση της εκφώνησής του για ( δική μου ) ευκολία.
ΠΡΟΤΑΣΗ 1. - Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο και ας είναι , το αντιδιαμετρικό σημείο του . Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε τον κύκλο έστω και έστω , τυχόν σημείο του, στο εσωτερικό του . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει τις πλευρές στα σημεία , αντιστοίχως και ας είναι , η προβολή του επί της της . Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος , όπου και το μέσον της πλευράς . ( Θάνος Καλογεράκης ). Έστω τα σημεία και , ως τα μέσα των αντιστοίχως και ( προφανές ).
Ισχύει και και έστω το σημείο .
Έστω τα σημεία και και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1, έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ισχύει
Θεωρούμε το τρίγωνο με το ύψος του και τις προβολές του , επί των , αντιστοίχως και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2, έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ισχύει , όπου και .
Από , με βάση το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι οι σημειοσειρές και έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Ισχύει δηλαδή,
Αλλά, και
Από
Από και επειδή οι δέσμες έχουν την ως κοινή ακτίνα τους, προκύπτει ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Ομοίως, από , προκύπτει
Αλλά, και
Από
Από και επειδή οι δέσμες έχουν την ως κοινή ακτίνα τους, προκύπτει ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
Οι ευθείες τώρα, ταυτίζονται γιατί έχουν δύο κοινά σημεία.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η ευθεία όπως ορίζεται στην εκφώνηση, περνάει από το μέσον του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , το αντιδιαμετρικό σημείο του . Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε τον κύκλο έστω και ας είναι , τυχόν σημείο του στο εσωτερικό του . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει τις πλευρές στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία , όπου και , με το μέσον της πλευράς , περνάει από το σημείο και είναι παράλληλη προς την .
ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το ύψος του. Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , η προβολή του επί της . Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου, για τα ως άνω Λήμμα 1 και Λήμμα 2.
Το (α) ζητούμενο όμως, είναι από μόνο του είναι ένα όμορφο και δύσκολο "Καλογεράκειο" πρόβλημα και ας δούμε μία αναδιατύπωση της εκφώνησής του για ( δική μου ) ευκολία.
ΠΡΟΤΑΣΗ 1. - Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο και ας είναι , το αντιδιαμετρικό σημείο του . Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε τον κύκλο έστω και έστω , τυχόν σημείο του, στο εσωτερικό του . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει τις πλευρές στα σημεία , αντιστοίχως και ας είναι , η προβολή του επί της της . Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος , όπου και το μέσον της πλευράς . ( Θάνος Καλογεράκης ). Έστω τα σημεία και , ως τα μέσα των αντιστοίχως και ( προφανές ).
Ισχύει και και έστω το σημείο .
Έστω τα σημεία και και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1, έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ισχύει
Θεωρούμε το τρίγωνο με το ύψος του και τις προβολές του , επί των , αντιστοίχως και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2, έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ισχύει , όπου και .
Από , με βάση το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι οι σημειοσειρές και έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Ισχύει δηλαδή,
Αλλά, και
Από
Από και επειδή οι δέσμες έχουν την ως κοινή ακτίνα τους, προκύπτει ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Ομοίως, από , προκύπτει
Αλλά, και
Από
Από και επειδή οι δέσμες έχουν την ως κοινή ακτίνα τους, προκύπτει ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
Οι ευθείες τώρα, ταυτίζονται γιατί έχουν δύο κοινά σημεία.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η ευθεία όπως ορίζεται στην εκφώνηση, περνάει από το μέσον του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , το αντιδιαμετρικό σημείο του . Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε τον κύκλο έστω και ας είναι , τυχόν σημείο του στο εσωτερικό του . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει τις πλευρές στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία , όπου και , με το μέσον της πλευράς , περνάει από το σημείο και είναι παράλληλη προς την .
ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το ύψος του. Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , η προβολή του επί της . Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου, για τα ως άνω Λήμμα 1 και Λήμμα 2.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Θεωρούμε το , ως το σημείο τομής της ευθείας από την δια του παράλληλη ευθεία προς την και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου είναι το μέσον της πλευράς . Από και έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , το αντιδιαμετρικό σημείο του . Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε τον κύκλο έστω και ας είναι , τυχόν σημείο του στο εσωτερικό του . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει τις πλευρές στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία , όπου και , με το μέσον της πλευράς , περνάει από το σημείο και είναι παράλληλη προς την .
Από και όπου .
Από και
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως, τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Ισχύει τώρα,
Από
Από
Από
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι και τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου και το Λήμμα 1 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Από και , έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω με διάμετρο και επομένως, ισχύειvittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το ύψος του. Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , η προβολή του επί της . Αποδείξτε ότι , όπου .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με και , έχουμε
Από και επομένως, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω .
Άρα, οι ευθείες είναι αντιπαράλληλες μεταξύ τους, ως προς τις ευθείες της γωνίας και επομένως ισχύει , όπου είναι το κέντρο του κύκλου . Έστω το σημείο και έχουμε , λόγω και .
Στο τετράπλευρο τώρα, το εγγεγραμμένο στον κύκλο με διάμετρο , η ευθεία είναι εφαπτομένη του στο σημείο και τέμνει την ευθεία της πλευράς του στο σημείο .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 3, έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου με .
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι και τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου και το Λήμμα 2 έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 3. Δίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με διάμετρο και έστω το σημείο , όπου είναι η προβολή του επί της . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει την ευθεία της πλευράς στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα 3.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύειvittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 3. Δίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με διάμετρο και έστω το σημείο , όπου είναι η προβολή του επί της . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει την ευθεία της πλευράς στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με και έχουμε
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , όπου είναι το ύψος του , έχουμε Από όμοια ορθογώνια τρίγωνα , έχουμε
Από
Από και
Από
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και το Λήμμα 3 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Ας δούμε την αναδιατύπωση της εκφώνησης που αφορά στο (β) ζητούμενο, ως ξεχωριστό πρόβλημα.
ΠΡΟΤΑΣΗ 2. Δίνεται κύκλος με χορδή δοσμένο τμήμα και έστω τυχόν σημείο του. H εφαπτομένη του στο σημείο , τέμνει τις εφαπτομένες δια των σημείων , στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι ( Miquel Ochoa Sanchez ). Επειδή τα τρίγωνα έχουν την ως κοινή βάση τους, αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι ισχύει
όπου είναι οι προβολές των επί της αντιστοίχως.
Στο ορθογώνιο τραπέζιο με , για να ισχύει η , αρκεί να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιες περνάνε από το μέσον του .
Σε κάθε τραπέζιο, όχι απαραίτητα ορθογώνιο, οι βάσεις του και το δια του σημείου τομής των διαγωνίων παράλληλο τμήμα προς τις βάσεις του, που έχει τα άκρα του επί των μη παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου, επαληθεύουν την
Ορίζουμε το σημείο , ως το σημείο τομής των και αρκεί να αποδειχθεί ότι το σημείο αυτό ταυτίζεται με το μέσον του . Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από και και
Από
Από
Από προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια και επομένως, ισχύει
Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές με , από και και επομένως, το σημείο ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος .
Από και τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει .
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι και η διαγώνια του περνάει από το μέσον του και άρα, ισχύει η και το ισοδύναμο ζητούμενο της Πρότασης 2 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ.(1) - Η Πρόταση 1 έχει πρωτοδημοσιευτεί Εδώ.
ΥΓ.(2) - Για την Πρόταση 2 δείτε άλλες λύσεις Eδώ.
ΠΡΟΤΑΣΗ 2. Δίνεται κύκλος με χορδή δοσμένο τμήμα και έστω τυχόν σημείο του. H εφαπτομένη του στο σημείο , τέμνει τις εφαπτομένες δια των σημείων , στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι ( Miquel Ochoa Sanchez ). Επειδή τα τρίγωνα έχουν την ως κοινή βάση τους, αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι ισχύει
όπου είναι οι προβολές των επί της αντιστοίχως.
Στο ορθογώνιο τραπέζιο με , για να ισχύει η , αρκεί να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιες περνάνε από το μέσον του .
Σε κάθε τραπέζιο, όχι απαραίτητα ορθογώνιο, οι βάσεις του και το δια του σημείου τομής των διαγωνίων παράλληλο τμήμα προς τις βάσεις του, που έχει τα άκρα του επί των μη παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου, επαληθεύουν την
Ορίζουμε το σημείο , ως το σημείο τομής των και αρκεί να αποδειχθεί ότι το σημείο αυτό ταυτίζεται με το μέσον του . Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από και και
Από
Από
Από προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια και επομένως, ισχύει
Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές με , από και και επομένως, το σημείο ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος .
Από και τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει .
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι και η διαγώνια του περνάει από το μέσον του και άρα, ισχύει η και το ισοδύναμο ζητούμενο της Πρότασης 2 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ.(1) - Η Πρόταση 1 έχει πρωτοδημοσιευτεί Εδώ.
ΥΓ.(2) - Για την Πρόταση 2 δείτε άλλες λύσεις Eδώ.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση για το α) ερώτημα
Έστω το σημείο τομής των διχοτόμων (και μεσοκαθέτων των λόγω των ισοσκελών τριγώνων αντίστοιχα) των γωνιών
Τότε από τους σχηματιζόμενους «χαρταετούς» προκύπτει ότι:
Αν τότε από
σημεία κύκλου διαμέτρου
και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι , άρα το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Αν τότε έχουμε: και .
Από το θεώρημα των τεμνωμένων χορδών στους δύο κύκλους θα έχουμε: .
Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική και συνεπώς .
Από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων με τα ομόλογα ύψη τους θα είναι
σειρές και έχουν ίσους διπλούς λόγους και συνεπώς και οι δέσμες έχουν ίσους διπλούς λόγους και επειδή (κοινή τους ακτίνα) προκύπτει ότι τα σημεία τομής των άλλων ομολόγων τριών ακτινών τους είναι συνευθειακά, δηλαδή τα είναι συνευθειακά. Τέλος από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική , με , άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με (κάθετες στην ) προκύπτει ότι είναι το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Ας επανέλθω για το β) ερώτημα λίγο διαφορετικά από την απόδειξη του Κώστα (στην ίδια όμως βάση).
Έστω τα ύψη των τριγώνων αντίστοιχα στην κοινή τους «βάση» . Για το «τραπέζιο» και την με εσωτερικό του τμήματος σύμφωνα με γνωστότατη πρόταση (έχει συζητηθεί αρκετές φορές στο ισχύει: . Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων προκύπτει ότι:
.
Από την και επειδή τα τρίγωνα μοιράζονται την «βάση» , προκύπτει ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Υ.Σ. Το Λήμμα στο οποίο αναφέρομαι πιθανόν να το βρει ο Θανάσης (KARKAR)
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Μια λύση για το α. ερωτημα από τον Waldemar Pompe
Ο περίκυκλος του τριγώνου εφάπτεται στις στα σημεία αντίστοιχα.
Τότε εκ κατασκευής οι είναι συμμετροδιάμεσοι του και είναι το σημείο Lemoine Από την γνωστή ιδιότητα του σημείου Lemoine "Σε ένα τρίγωνο, το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει, το μέσον μιας πλευράς, με το μέσον του ύψους που άγεται προς αυτήν, διέρχεται από το σημείο Lemoine του τριγώνου" η απόδειξη έπεται.
Ο περίκυκλος του τριγώνου εφάπτεται στις στα σημεία αντίστοιχα.
Τότε εκ κατασκευής οι είναι συμμετροδιάμεσοι του και είναι το σημείο Lemoine Από την γνωστή ιδιότητα του σημείου Lemoine "Σε ένα τρίγωνο, το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει, το μέσον μιας πλευράς, με το μέσον του ύψους που άγεται προς αυτήν, διέρχεται από το σημείο Lemoine του τριγώνου" η απόδειξη έπεται.
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Γνωστό αποτέλεσμα αλλά δεν έχει τύχει να το ξαναδώ. Αποδεικνύεται εύκολα ως άμεση εφαρμογή στα Αρμονικά Συζυγή. Θα επανέλθω αργότερα με λεπτομέρειες εάν δεν υπάρξει ανταπόκριση.
Είναι απο τις περιπτώσεις εκείνες που απλές αποδείξεις, στέλνουν στα αζήτητα πολύπλοκες προσεγγίσεις σε γεωμετρικά προβλήματα. Αυτή είναι άλλωστε η γοητεία της Γεωμετρίας.
Κώστας Βήττας.
Είναι απο τις περιπτώσεις εκείνες που απλές αποδείξεις, στέλνουν στα αζήτητα πολύπλοκες προσεγγίσεις σε γεωμετρικά προβλήματα. Αυτή είναι άλλωστε η γοητεία της Γεωμετρίας.
Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σπασμένο ισοσκελές
Η ευθεία που συνδέει το μέσον πλευράς με το Σημείο Lemoine τριγώνου, περνάει από το μέσον του ύψους που αντιστοιχεί στην ίδια πλευρά.
Έστω το εφαπτομενικό τρίγωνο του δοσμένου τριγώνου και είναι γνωστό ότι το σημείο έστω ταυτίζεται με το Σημείο Lemoine του .
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η δέσμη , όπου είναι το μέσον της πλευράς , είναι αρμονική.
Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία του ύψους του και από συμπεραίνεται ότι , όπου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η δέσμη , όπου είναι το μέσον της πλευράς , είναι αρμονική.
Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία του ύψους του και από συμπεραίνεται ότι , όπου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KDORTSI και 5 επισκέπτες