Δύσκολη συνευθειακότητα
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Δύσκολη συνευθειακότητα
Έστω σημείο της και σημείο της προέκτασης της , τέτοια
ώστε : . Αν η τέμνει το εξωτερικά του κύκλου ημικύκλιο
διαμέτρου στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Δύσκολη συνευθειακότητα
Θα λύσουμε το ισοδύναμο αντίστροφο, δηλαδή ότι το είναι η τομή του και του και πρέπει να αποδείξουμε πως το ανήκει στο ημικύκλιο με διάμετρο .
Με άλλα λόγια πρέπει να αποδείξουμε πως .
Θα αποδείξουμε αρχικά πως τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Πράγματι (αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές). Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί πως .
Από θεώρημα Θαλή έχουμε ότι .
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε πως , που ισχύει καθώς είναι γνωστή μετρική για το ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του .
Επομένως τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα .
Άρα το είναι εγγράψιμο.
Συνεπώς .
Όμως .
Επομένως , δηλαδή προκύπτει ότι το είναι εγγράψιμο, άρα αφού , θα έχουμε και πως , άρα .
Με άλλα λόγια πρέπει να αποδείξουμε πως .
Θα αποδείξουμε αρχικά πως τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Πράγματι (αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές). Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί πως .
Από θεώρημα Θαλή έχουμε ότι .
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε πως , που ισχύει καθώς είναι γνωστή μετρική για το ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του .
Επομένως τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα .
Άρα το είναι εγγράψιμο.
Συνεπώς .
Όμως .
Επομένως , δηλαδή προκύπτει ότι το είναι εγγράψιμο, άρα αφού , θα έχουμε και πως , άρα .
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Δύσκολη συνευθειακότητα
Κάπως πιο απλά: Είναι οπότε εγγράψιμο , επομένως
Αρκεί νδο όμως οπότε αρκεί νδο .
Όμως από , οπότε αρκεί νδο
Η τελευταία ισχύει, καθώς ... κλπ.
Αρκεί νδο όμως οπότε αρκεί νδο .
Όμως από , οπότε αρκεί νδο
Η τελευταία ισχύει, καθώς ... κλπ.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Δύσκολη συνευθειακότητα
Μιας και επανήλθε το θέμα μετά τόσα χρόνια ας δούμε και μια ελαφρώς διαφορετική άποψη Από το ημικύκλιο διαμέτρου προκύπτει ότι ομοκυκλικά και συνεπώς ομοκυκλικάKARKAR έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 14, 2017 7:55 pmΔύσκολη συνευθειακότητα.pngΗ χορδή , είναι κάθετη στη διάμετρο και την τέμνει στο σημείο .
Έστω σημείο της και σημείο της προέκτασης της , τέτοια ώστε : . Αν η τέμνει το εξωτερικά του κύκλου ημικύκλιο διαμέτρου στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
Αν το συμμετρικό του ως προς την και (από συμμετρίες ως προς την διάμετρο του αρχικού κύκλου).
Από ομοκυκλικά, άρα συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Δύσκολη συνευθειακότητα
Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο ώστε οπότε η είναι μεσοκάθετη της ,KARKAR έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 14, 2017 7:55 pmΔύσκολη συνευθειακότητα.pngΗ χορδή , είναι κάθετη στη διάμετρο και την τέμνει στο σημείο .
Έστω σημείο της και σημείο της προέκτασης της , τέτοια
ώστε : . Αν η τέμνει το εξωτερικά του κύκλου ημικύκλιο
διαμέτρου στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
συνεπώς
Θα αποδείξουμε ότι
Από το τραπέζιο άρα
Έτσι, άρα εγγράψιμμο ,συνεπώς
και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες