Διπλάσια γωνία

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Διπλάσια γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Αύγ 05, 2017 5:51 pm

Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a. Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D. Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB.

Ισχύει το αντίστροφο;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 265
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Διπλάσια γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Αύγ 06, 2017 1:01 am


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a. Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D. Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB.

Ισχύει το αντίστροφο;
Έστω K η τομή της διχοτόμου της A με την BC και A' με τον κύκλο.
Αρχικά αποδεικνύω ότι ID//AC:
Από θεώρημα Μενελάου στο \bigtriangleup ACK για τη διατέμνουσα IaDM και λόγω του μέσου M παίρνουμε \frac{IaK}{IaA}=\frac{DC}{DK} και λόγω της αρμονικής σημειοσειράς (A,I,K,Ia) παίρνουμε \frac{IA}{IK}=\frac{DC}{DK}
και η παραλληλία έπεται.
'Επεται επίσης ότι BIDA' εγγράψιμο.
Επιπλέον, \frac{BK}{BD}=\frac{BK}{BA}=\frac{A'K}{A'I}.Η τελευταία προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων ABA',BKA'(καιA'I=A'B)

και από αυτήν προκύπτει (αντίστροφο θαλή) η παραλληλία των BA',ID,το οποίο σημαίνει ότι το BIDA' είναι ισοσκελές τραπέζιο από όπου και βγαίνει άμεσα το ζητόυμενο.Για το αντίστροφο εργαζόμαστε αντίστροφα...


harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διπλάσια γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Κυρ Αύγ 06, 2017 12:12 pm

min## έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a. Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D. Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB.

Ισχύει το αντίστροφο;
Έστω K η τομή της διχοτόμου της A με την BC και A' με τον κύκλο.
Αρχικά αποδεικνύω ότι ID//AC:
Από θεώρημα Μενελάου στο \bigtriangleup ACK για τη διατέμνουσα IaDM και λόγω του μέσου M παίρνουμε \frac{IaK}{IaA}=\frac{DC}{DK} και λόγω της αρμονικής σημειοσειράς (A,I,K,Ia) παίρνουμε \frac{IA}{IK}=\frac{DC}{DK}
και η παραλληλία έπεται.
'Επεται επίσης ότι BIDA' εγγράψιμο.
Επιπλέον, \frac{BK}{BD}=\frac{BK}{BA}=\frac{A'K}{A'I}.Η τελευταία προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων ABA',BKA'(καιA'I=A'B)

και από αυτήν προκύπτει (αντίστροφο θαλή) η παραλληλία των BA',ID,το οποίο σημαίνει ότι το BIDA' είναι ισοσκελές τραπέζιο από όπου και βγαίνει άμεσα το ζητόυμενο.Για το αντίστροφο εργαζόμαστε αντίστροφα...
:coolspeak:


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 799
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διπλάσια γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Αύγ 06, 2017 12:21 pm

Λίγο διαφορετικά για το αρχικό ζητούμενο:
διπλάσια γωνία.png
διπλάσια γωνία.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές
Φέρνουμε την I_aC και έστω πως η AD την τέμνει στο σημείο F. Λόγω του ότι οι AF, CK τέμνονται πάνω στη διάμεσο, έχουμε πως KF//AC.

Όπως ανέφερε παραπάνω στην λύση του ο min## έχουμε πως KF//AC//ID*.

Ακόμη, λόγω του ότι το τρίγωνο ABD είναι ισοσκελές και επειδή η BI διχοτομεί την \widehat{ABD}, έχουμε πως η BI είναι μεσοκάθετος του AD. Άρα είναι και το AID ισοσκελές.

Λόγω όμως των παραλληλιών, έχουμε πως και το AKF είναι ισοσκελές.

Άρα \widehat{KAF}=\widehat{KFA}. Όμως λόγω της παραλληλίας έχουμε πως \widehat{KFA}=\widehat{FAC}. Άρα \widehat{KAF}=\widehat{FAC}

Άρα η AF είναι διοχοτόμος της \widehat{KAC}.

Έστω \widehat{ADB}=x και έστω \widehat{BAK}=y. Λόγω του ισοσκελούς ABD έχουμε πως \widehat{KAD}=\widehat{DAC}=x-y.

Άρα \widehat{KAC}=2(x-y). Πρέπει όμως \widehat{BAK}=\widehat{KAC}, άρα 2(x-y)=y\Leftrightarrow x=\dfrac{3y}{2}. Εύκολα τώρα προκύπτει ότι \widehat{BAC}=2y, ενώ \widehat{ACB}=y.

*Προκύπτει και ως εξής:

Έχουμε πως η τετράδα A, K, I, I_a είναι αρμονική, επομένως έχουμε πως και η δέσμη DA, DK, DI, DI_a είναι αρμονική. Δηλαδή η δέσμη DA, DC, DI, DM είναι αρμονική. Όμως λόγω του ότι AM=MC, από γνωστό λήμμα στις αρμονικές έχουμε πως ID//AC.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Κυρ Αύγ 06, 2017 12:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διπλάσια γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Κυρ Αύγ 06, 2017 12:40 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Λίγο διαφορετικά για το αρχικό ζητούμενο:
διπλάσια γωνία.png
Φέρνουμε την I_aC και έστω πως η AD την τέμνει στο σημείο F. Λόγω του ότι οι AF, CK τέμνονται πάνω στη διάμεσο, έχουμε πως KF//AC.

Όπως ανέφερε παραπάνω στην λύση του ο min## έχουμε πως KF//AC//ID.

Ακόμη, λόγω του ότι το τρίγωνο ABD είναι ισοσκελές και επειδή η BI διχοτομεί την \widehat{ABD}, έχουμε πως η BI είναι μεσοκάθετος του AD. Άρα είναι και το AID ισοσκελές.

Λόγω όμως των παραλληλιών, έχουμε πως και το AKF είναι ισοσκελές.

Άρα \widehat{KAF}=\widehat{KFA}. Όμως λόγω της παραλληλίας έχουμε πως \widehat{KFA}=\widehat{FAC}. Άρα \widehat{KAF}=\widehat{FAC}

Άρα η AF είναι διοχοτόμος της \widehat{KAC}.

Έστω \widehat{ADB}=x και έστω \widehat{BAK}=y. Λόγω του ισοσκελούς ABD έχουμε πως \widehat{KAD}=\widehat{DAC}=x-y.

Άρα \widehat{KAC}=2(x-y). Πρέπει όμως \widehat{BAK}=\widehat{KAC}, άρα 2(x-y)=y\Leftrightarrow x=\dfrac{3y}{2}. Εύκολα τώρα προκύπτει ότι \widehat{BAC}=2y, ενώ \widehat{ACB}=y.
:coolspeak:

Υπάρχει και λύση μόνο με μετρικές σχέσεις. Το αποτέλεσμα έπεται με Νόμο Συνημιτόνων.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης