Καθετότητα!

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Καθετότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Ιούλ 28, 2017 1:56 pm

Έστω κύκλος με κέντρο O και σημείο S εκτός του. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες SA και SB στον κύκλο. Στην προέκταση της SB παίρνουμε ένα σημείο C.
Έστω M το μέσο του AC και N το σημείο τομής της SM και AB. Να αποδειχθεί πως NO\perp AC.
Καθετότητα!.png
Καθετότητα!.png (18.58 KiB) Προβλήθηκε 1327 φορές


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2090
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Καθετότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Ιούλ 28, 2017 3:42 pm

Nice problem! Eλπίζω να προλάβω τα "τσιτάχ".

\bullet Έστω K,\ L, τα σημεία τομής του κύκλου (O) από την ευθεία SM και ας είναι το M μεταξύ των K,\ N.

Έστω τα σημεία E\equiv KB\cap AL και F\equiv KA\cap BL και έχουμε ότι η ευθεία EF ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου N ως προς τον κύκλο (O).

Επειδή τώρα, η ευθεία AB, ως η Πολική ευθεία του σημείου S ως προς τον κύκλο (O), περνάει από το σημείο N, προκύπτει ότι το σημείο S ( = ο Πόλος της ευθείας AB που περνάει από το N ) ανήκει στην ευθεία EF ( = την Πολική ευθεία του σημείου N ως προς τον (O) ).

Ισχύει \boxed{ON\perp EF}\ \ \ ,(1)

( η ευθεία που συνδέει το σημείο N με το κέντρο O του κύκλου (O), είναι κάθετη στην Πολική ευθεία του N ως προς τον ίδιο κύκλο ).
f=181_t=59399.png
Καθετότητα!
f=181_t=59399.png (27.93 KiB) Προβλήθηκε 1210 φορές
\bullet Από το πλήρες τετράπλευρο AKBLEF με S\equiv EF\cap KL, έχουμε ότι η δέσμη S\ldotp AKCT είναι αρμονική, όπου T\equiv EF\cap AB.

Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία AC και από MA = MC προκύπτει ότι \boxed{AC\parallel EF}\ \ \ ,(2)

Από (1),\ (2)\Rightarrow \boxed{ON\perp AC} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 28, 2017 4:04 pm

vittasko έγραψε:Nice problem! Eλπίζω να προλάβω τα "τσιτάχ".

Κώστας Βήττας.
Εσένα μόνο ένας ενδέχεται να σε προσπεράσει αλλά αυτόν το καιρό περί άλλων τυρβάζει !


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Καθετότητα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιούλ 28, 2017 5:19 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω κύκλος με κέντρο O και σημείο S εκτός του. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες SA και SB στον κύκλο. Στην προέκταση της SB παίρνουμε ένα σημείο C.
Έστω M το μέσο του AC και N το σημείο τομής της SM και AB. Να αποδειχθεί πως NO\perp AC.
Καθετότητα!.png
Ας είναι \displaystyle{AD,EB} οι ορθές προβολές του \displaystyle{ON} στις \displaystyle{SA,SC} αντίστοιχα και \displaystyle{MH \bot SA,MI \bot SC}

Ισχύει , \displaystyle{\angle SAB = \angle SBA \Rightarrow \vartriangle DNA \cong \vartriangle BNE \Rightarrow \frac{{DA}}{{EB}} = \frac{{ND}}{{NE}} = \left( {DN//EM,NE//MI} \right) = \frac{{HM}}{{MI}}}

Αλλά \displaystyle{2\left( {SAM} \right) = 2\left( {SMC} \right) \Rightarrow SA \cdot HM = SC \cdot MI \Leftrightarrow \frac{{HM}}{{MI}} = \frac{{SC}}{{SA}}}

Έτσι, \displaystyle{\frac{{SC}}{{SA}} = \frac{{DA}}{{EB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{SC}}{{DA}} = \frac{{SA}}{{EB}}}} και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα \displaystyle{ \Rightarrow \boxed{ON \bot AC}}
Καθετότητα.png
Καθετότητα.png (20 KiB) Προβλήθηκε 1290 φορές


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2090
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Καθετότητα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Ιούλ 28, 2017 7:23 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:... και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα \displaystyle{ \Rightarrow \boxed{ON \bot AC}}
Γεια σου Μιχάλη με τα ωραία σου. :coolspeak:

Αυτό το Θεώρημα "κόκκαλα δεν έχει και κόκκαλα τσακίζει".

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Καθετότητα!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Ιούλ 28, 2017 11:39 pm

vittasko έγραψε:Nice problem! Eλπίζω να προλάβω τα "τσιτάχ".

\bullet Έστω K,\ L, τα σημεία τομής του κύκλου (O) από την ευθεία SM και ας είναι το M μεταξύ των K,\ N.

Έστω τα σημεία E\equiv KB\cap AL και F\equiv KA\cap BL και έχουμε ότι η ευθεία EF ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου N ως προς τον κύκλο (O).

Επειδή τώρα, η ευθεία AB, ως η Πολική ευθεία του σημείου S ως προς τον κύκλο (O), περνάει από το σημείο N, προκύπτει ότι το σημείο S ( = ο Πόλος της ευθείας AB που περνάει από το N ) ανήκει στην ευθεία EF ( = την Πολική ευθεία του σημείου N ως προς τον (O) ).

Ισχύει \boxed{ON\perp EF}\ \ \ ,(1)

( η ευθεία που συνδέει το σημείο N με το κέντρο O του κύκλου (O), είναι κάθετη στην Πολική ευθεία του N ως προς τον ίδιο κύκλο ).
\bullet Από το πλήρες τετράπλευρο AKBLEF με S\equiv EF\cap KL, έχουμε ότι η δέσμη S\ldotp AKCT είναι αρμονική, όπου T\equiv EF\cap AB.

Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία AC και από MA = MC προκύπτει ότι \boxed{AC\parallel EF}\ \ \ ,(2)

Από (1),\ (2)\Rightarrow \boxed{ON\perp AC} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.
Κύριε Κώστα, είχα σκεφτεί την ίδια λύση με μια μικρή παραλλαγή! :)

Δεν φέρνω το σημείο F. Έστω R το σημείο τομής της AE και της SB.

Έχουμε πως η τετράδα (S, N, L, K) είναι αρμονική (γνωστό), άρα θα είναι και η δέσμη BS, BN, BL, BK αρμονική.

Με άλλα λόγια θα είναι και η τετράδα (A, R, L, E) αρμονική, δηλαδή και η δέσμη SA, SM, SC, SE είναι αρμονική....
Καθετότητα!_2.png
Καθετότητα!_2.png (23.15 KiB) Προβλήθηκε 1197 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2090
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Καθετότητα!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Ιούλ 29, 2017 11:20 am

Διονύση, πολύ ωραία. :coolspeak:

Όντως, δεν μας χρειάζεται το σημείο F\equiv KA\cap BL, αφού άμεσα προκύπτει ότι τα σημεία S και E\equiv KB\cap AL ανήκουν στην Πολική ευθεία του σημείου N ως προς τον κύκλο (O) ( οπότε έχουμε ON\perp ES ), γιατί οι Πολικές ευθείες τους περνάνε από το σημείο N.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1306
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Καθετότητα!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιούλ 29, 2017 12:54 pm

Άλλη μία λύση, αφιερωμένη στον κ. Κώστα! :)

Από το S φέρουμε παράλληλη στην AC που τέμνει την AB στο Q. Τότε η (SA, SC, SM, SQ) είναι αρμονική, άρα τα σημεία (A,B,N,Q) σχηματίζουν αρμονική τετράδα, άρα το N ανήκει στην πολική του Q, άρα το Q ανήκει στην πολική του N, άρα η SQ είναι η πολική του N και το ζητούμενο έπεται.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιούλ 29, 2017 2:07 pm

silouan έγραψε:Άλλη μία λύση, αφιερωμένη στον κ. Κώστα! :)

Από το S φέρουμε παράλληλη στην AC που τέμνει την AB στο Q. Τότε η (SA, SC, SM, SQ) είναι αρμονική, άρα τα σημεία (A,B,N,Q) σχηματίζουν αρμονική τετράδα, άρα το N ανήκει στην πολική του Q, άρα το Q ανήκει στην πολική του N, άρα η SQ είναι η πολική του N και το ζητούμενο έπεται.

:clap2:


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2090
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Καθετότητα!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Ιούλ 29, 2017 4:27 pm

silouan έγραψε:Άλλη μία λύση, αφιερωμένη στον...
Σιλουανέ, με τιμάς ιδιαίτερα με την αφιέρωση και σ' ευχαριστώ πολύ.

Έχω όμορφες αναμνήσεις από την συνάντηση μας πριν δέκα χρόνια περίπου στο ελληνικό AoPS, όπου είχαμε την ευκαιρία να συζητήσουμε ενδιαφέροντα γεωμετρικά προβλήματα.

Με είχε εντυπωσιάσει τότε, ο τρόπος που εσύ και η λοιπή παρέα ( ..., Κολλιόπουλος, Μόσχογλου, Παπαδημητρίου, Παππέλης, Ράπανος, Τσαρέας, ... ) που δεν έχω πρόχειρα όλα τα ονόματα, προσεγγίζατε τα προβλήματα με "εργαλεία" από το Συμπλήρωμα της Γεωμετρίας ( Θεωρήματα Μενελάου - Ceva, Αρμονικά συζυγή, Πολικές, Μετασχηματισμοί κλπ ), όπως το μαθαίναμε στα μαθητικά μου χρόνια ( δεκαετία του '60, στον περασμένο αιώνα... ).

Σήμερα, με ιδιαίτερη χαρά βλέπω ότι όλοι σας ( οι δεκαεξάρηδες τότε ), προοδεύετε στον τομέα που διάλεξε ο καθένας να ακολουθήσει και αυτό είναι καλό σημάδι για το Μέλλον, αν ελπίζουμε σε καλύτερες μέρες οι οποίες είναι σίγουρο ότι δεν θα έλθουν από την δική μας γενιά.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Σιλουανέ και λοιποί φίλοι ανεξαρτήτως ηλικίας, δεν έχω μπροστά μου πολλές δεκαετίες και όπως έχω πει και αλλού, προσδοκώ την μέρα που θα με λέτε απλά, Κώστα.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καθετότητα!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Ιούλ 30, 2017 10:07 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω κύκλος με κέντρο O και σημείο S εκτός του. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες SA και SB στον κύκλο. Στην προέκταση της SB παίρνουμε ένα σημείο C.Έστω M το μέσο του AC και N το σημείο τομής της SM και AB. Να αποδειχθεί πως NO\perp AC.
Στο σχήμα του Μιχάλη , στο ίδιο σκεπτικό του λίγο συντομότερα . Με N σημείο της διαμέσου SM του τριγώνου

\vartriangle SAC \Rightarrow \left( {SNA} \right) = \left( {SNC} \right) \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{NE}}{{ND}}\mathop  = \limits^{\vartriangle NEB \sim \vartriangle NDA} \dfrac{{EB}}{{DA}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\Theta .{\rm K}o\upsilon \tau \rho \alpha } \boxed{ON \bot AC} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης