Μια προφανής (;) συνευθειακότητα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4029
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Μια προφανής (;) συνευθειακότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιουν 02, 2017 12:17 am

Μια προφανή (;) συνευθειακότητα.png
Μια προφανή (;) συνευθειακότητα.png (48.75 KiB) Προβλήθηκε 1014 φορές
Έστω \left( N \right) (κέντρου N ) ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα K,L,M των πλευρών BC,CA,AB αντίστοιχα τριγώνου \vartriangle ABC και ας είναι D\equiv \left( N \right)\cap AC,D\ne L,E\equiv \left( N \right)\cap AB,E\ne N . Να δειχθεί ότι O,N,T είναι συνευθειακά, όπου O είναι το κέντρο του περίκυκλου \left( O \right) του \vartriangle ABC και T\equiv MD\cap LE

Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Παρ Ιουν 02, 2017 8:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Ιουν 02, 2017 1:03 am

Όντως, είναι προφανής... :coolspeak:

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7339
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 02, 2017 2:05 am

μια προφανής συνευθειακότητα.png
μια προφανής συνευθειακότητα.png (44.12 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές
Ο κύκλος (N) είναι ο κύκλος Euler του \vartriangle ABC ενώ η ευθεία ON είναι η του

Euler για το ίδιο τρίγωνο και διέρχεται από το ορθόκεντρο του H .

Ας είναι J\,\,,Gτα σημεία τομής της ON με τις AB,\,\,AC

Έστω {T_1} το σημείο τομής των DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON . Η πολική του {T_1} ως προς τον κύκλο

(N), διέρχεται από το σημείο τομής των DJ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MG και

είναι η κάθετη από το Aστην ON έστω σε σημείο S.

Ομοίως αν {T_2} το σημείο τομής των EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON είναι πάλι η κάθετη από το A στην

ON. Άρα τα σημεία {T_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{T_2} ταυτίζονται . Δηλαδή οι ευθείες DM\,\,,EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON

Συντρέχουν σε σημείο T.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1290
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Ιουν 02, 2017 8:42 am

Από την ομοιότητα των τριγώνων TEM και TDL έπεται άμεσα ότι οι προβολές των T, 
 N, O στις AB, AC, δημιουργούν τμήματα ανάλογα. :)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Παρ Ιουν 02, 2017 9:12 am

Σε μισή γραμμούλα με Πασκαλάκο με τα αντιδιαμετρικά των E και D.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4029
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μια προφανής (;) συνευθειακότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιουν 02, 2017 11:44 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω \left( N \right) (κέντρου N ) ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα K,L,M των πλευρών BC,CA,AB αντίστοιχα τριγώνου \vartriangle ABC και ας είναι D\equiv \left( N \right)\cap AC,D\ne L,E\equiv \left( N \right)\cap AB,E\ne N . Να δειχθεί ότι O,N,T είναι συνευθειακά, όπου O είναι το κέντρο του περίκυκλου \left( O \right) του \vartriangle ABC και T\equiv MD\cap LE

Στάθης
Προφανής συνευθειακότητα.png
Προφανής συνευθειακότητα.png (62.52 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές
Από το Θεώρημα του Πάππου για τις συνευθειακές τριάδες \left( B,M,E \right)\,\,\And \,\,\left( C,L,D \right) προκύπτει ότι τα σημεία BL\cap CM\equiv G (βαρύκεντρο του \vartriangle ABC ) , BD\cap CE\equiv H (ορθόκεντρο του \vartriangle ABC) και MD\cap LE\equiv T είναι συνευθειακά, και με H,N,G,O συνευθειακά (στην Ευθεία Euler του \vartriangle ABC) θα είναι T,\left( H \right),N,\left( G \right),O συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης