Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9679
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 11, 2017 2:49 pm

Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές
Δίνεται κύκλος (O,r) και μία ευθεία (\epsilon) που απέχει από το O απόσταση 2r. Από τυχαίο σημείο K της ευθείας γράφουμε

κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον (O,r) στο σημείο P και τέμνει την ευθεία στα A, B. Η AP επανατέμνει τον αρχικό

κύκλο στο S. Αν A\widehat SB=\theta, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της \displaystyle{\tan \theta }.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11770
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 12, 2017 1:52 pm

VISV.png
VISV.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές
Από το ορθογώνιο OQK , βρίσκουμε : x=\sqrt{R^2+2R-3}-R . Θεωρώντας την \theta

ως διαφορά των \widehat{TSA}, \widehat{TSB} , παίρνουμε : tan\theta=\dfrac{2R}{\sqrt{R^2+2R-3}+R+1}.

Η ποσότητα αυτή παρουσιάζει ελάχιστο για R=\dfrac{3}{2} ,το tan\theta_{min}=\dfrac{3}{4} .

Ζητώ την κατανόησή σας για την τροποποίηση του σχήματος , την απλοποίηση του r ,

τη χρήση παραγώγου στο τελευταίο βήμα και τη συνοπτικότητα της λύσης !


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Φεβ 13, 2017 9:30 pm

george visvikis έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Δίνεται κύκλος (O,r) και μία ευθεία (\epsilon) που απέχει από το O απόσταση 2r. Από τυχαίο σημείο K της ευθείας γράφουμε

κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον (O,r) στο σημείο P και τέμνει την ευθεία στα A, B. Η AP επανατέμνει τον αρχικό

κύκλο στο S. Αν A\widehat SB=\theta, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της \displaystyle{\tan \theta }.
Καλησπέρα

Εστω ότι AK=KP=KB=x,ST\perp AB,PN\perp AB,\hat{PAK}=\hat{\omega },

Απο το εγράψιμο τετράπλευρο PBTS,\hat{PTB}=\hat{PSB}=\hat{\theta },tan\theta =\dfrac{PN}{NT},(1)
Από τα όμοια τρίγωνα OPS,APK,\dfrac{AP}{PS}=\dfrac{x}{r},(2),

1-\dfrac{NT}{AT}=\dfrac{AN}{AT}=\dfrac{PN}{2r}=\dfrac{AP}{AS}=\dfrac{AP}{AP+PS}=\dfrac{x}{x+r},PN=\dfrac{2rx}{x+r},(3),
AT=\dfrac{2r}{tan\omega },(4),\dfrac{NT}{AT}=\dfrac{r}{x+r},(5), (4),(5)\Rightarrow NT=\dfrac{r}{x+r}(\sqrt{x^{2}+2xr-3r^{2} }+r),(6),y=tan\theta ,\dfrac{2x}{y}=x+r+\sqrt{x^{2}+2xr-3r^{2}}\Leftrightarrow (1-y)x^{2}-yrx+r^{2}y^{2}=0,\Delta \geq 0\Rightarrow y\geq \dfrac{3}{4},y_{min}=\dfrac{3}{4},x=\dfrac{3r}{2}



Γιάννης
Συνημμένα
Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png (97.43 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5506
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Φεβ 13, 2017 10:06 pm

george visvikis έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Δίνεται κύκλος (O,r) και μία ευθεία (\epsilon) που απέχει από το O απόσταση 2r. Από τυχαίο σημείο K της ευθείας γράφουμε κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον (O,r) στο σημείο P και τέμνει την ευθεία στα A, B. Η AP επανατέμνει τον αρχικό κύκλο στο S. Αν A\widehat SB=\theta, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της \displaystyle{\tan \theta }.
Γεια χαρά στη παρέα.
Έστω T η προβολή του S στην \varepsilon . Είναι καθαρό ότι τα σημεία A,P,S είναι συνευθειακά (προφανής ομοιότητα ισοσκελών τριγώνων), οπότε \angle BPS = \angle STB = \frac{\pi }{2}. Αυτό σημαίνει ότι το τετράπλευρο SPBT είναι εγγράψιμο, άρα αρκεί η γωνία \angle PTB να είναι ελάχιστη.
Αυτό συμβαίνει καθαρά όταν η TP καταστεί εφαπτομένη του κύκλου \left( {O,\;r} \right).
Τότε, αν \diplaystyle{ST = d,\;\;\tan \theta  = \frac{1}{{\cot \theta }} = \frac{{{d^2} - {r^2}}}{{2dr}}.}


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Φεβ 13, 2017 10:37 pm

S.E.Louridas έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Δίνεται κύκλος (O,r) και μία ευθεία (\epsilon) που απέχει από το O απόσταση 2r. Από τυχαίο σημείο K της ευθείας γράφουμε κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον (O,r) στο σημείο P και τέμνει την ευθεία στα A, B. Η AP επανατέμνει τον αρχικό κύκλο στο S. Αν A\widehat SB=\theta, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της \displaystyle{\tan \theta }.
Γεια χαρά στη παρέα.
Έστω T η προβολή του S στην \varepsilon . Είναι καθαρό ότι τα σημεία A,P,S είναι συνευθειακά (προφανής ομοιότητα ισοσκελών τριγώνων), οπότε \angle BPS = \angle STB = \frac{\pi }{2}. Αυτό σημαίνει ότι το τετράπλευρο SPBT είναι εγγράψιμο, άρα αρκεί η γωνία \angle PTB να είναι ελάχιστη.
Αυτό συμβαίνει καθαρά όταν η TP καταστεί εφαπτομένη του κύκλου \left( {O,\;r} \right).
Τότε, αν \diplaystyle{ST = d,\;\;\tan \theta  = \frac{1}{{\cot \theta }} = \frac{{{d^2} - {r^2}}}{{2dr}}.}
Γειά σου Σωτήρη ,η γωνια \hat{PTB} ελαχιστοποιείται όταν η TP
γίνει εφαπτομένη στον κύκλο (O) είναι προφανές ;; γνωστή άσκηση;


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5506
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Φεβ 13, 2017 11:30 pm

STOPJOHN έγραψε: Γειά σου Σωτήρη ,η γωνια \hat{PTB} ελαχιστοποιείται όταν η TP
γίνει εφαπτομένη στον κύκλο (O) είναι προφανές ;; γνωστή άσκηση;
Γιάννης
Γιάννη όπως ανέφερα από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων OPS, KPA η OS ως παράλληλη στην (\varepsilon) δίνει το S σταθερό. Συνεπώς OTAN οι TP, TS είναι εφαπτόμενες του μπλε κύκλου σου, τότε κάθε ημιευθεία που περνά από το T και τέμνει τον μπλε κύκλο σου περιέχεται στην γωνία που οι εφαπτόμενες σχηματίζουν. Άρα ...


(*) Απλά αυτό για λύτες σε επίπεδο seniors πράγματι το θεώρησα περίπου προφανές, πάντα βέβαια με κάθε επιφύλαξη για την ορθότητα των λεγομένων ... αφού ο δαίμονας του διαδικτύου καραδοκεί...


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Φεβ 14, 2017 1:10 pm

Σωτήρη ,η σταθερότητα του σημείου S συνεπάγεται και τη σταθερότητα του σημέιου Tκαι είναι ST=2r

και εφόσον \hat{OST}=90^{0}
καθε ημιευθεία που διέρχεται από το σημείο T και τέμνει τον μπλέ κύκλο έχει μια οριακή θέση ,όταν γίνει εφαπτομένη του κύκλου ....τα γράφω γιατί πιο παλιά βρίσκαμε και γεωμετρικούς τόπους με τις οριακές θέσεις, ας είναι ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης