mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 25, 2017 6:42 pm**

: Πλευρές τριγώνου.png (10.2 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Α) Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

, αν είναι γνωστό το μήκος του

, η ακτίνα

του περιγεγραμμένου κύκλου

και η γωνία $\widehat A=60^0$ , όπου H, O

το ορθόκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα.

Β) Αν $HO=3, R=\displaystyle{\frac{7\sqrt 3}{3}}$ , να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 25, 2017 9:24 pm**

george visvikis έγραψε:Πλευρές τριγώνου.png
Α) Να κατασκευαστεί τρίγωνο , αν είναι γνωστό το μήκος του , η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

και η γωνία $\widehat A=60^0$ , όπου το ορθόκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα.

Β) Αν $HO=3, R=\displaystyle{\frac{7\sqrt 3}{3}}$ , να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου.

Έστω δύο ίσοι κύκλοι $(O,R)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(K,R)$ που το

ανήκει στον $(O,R)\,\,$ και το

στον

με κοινή χορδή

. Προφανώς $\boxed{BC = {\lambda _3} = R\sqrt 3 }$ . Επειδή το

συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς μια πλευρά του τριγώνου ανήκει στον

περιγεγραμμένο του κύκλο , συνεχίζω ως εξής : Γράφω και τον κύκλο

$(O,d)\,\,\,,\,\,d =$ η δεδομένη απόσταση, ορθοκέντρου –περικέντρου, που τέμνει τον

(K,R)

σε σημεία $H\,\,,\,\,H'$ . Η κάθετη π. χ. από το σημείο

επί την

τέμνει τον

(O,R)

σε δύο σημεία

και

, τη δε

στο

. (

) . Το $\vartriangle ABC$

είναι αυτό που θέλουμε.

: Κατασκευή τριγώνου _Γ Βισβίκης.png (19.19 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Αν $\boxed{OH = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}}$ θα είναι BC = 7

Αν

το μέσο του

επειδή το

τετράπλευρο HOKT

είναι ισοσκελές τραπέζιο με

$HO = 3,\,OK = OT = HK = R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TK = 3$ από θ . Πτολεμαίου βρίσκουμε ,

$HT = \dfrac{{22\sqrt 3 }}{{21}}$ εύκολα μετά με Π. Θ. $\boxed{DM = \frac{{39}}{{14}}}$ και τελικά $AC = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 5$

: Κατασκευή τριγώνου _Γ Βισβίκης_1.png (32.5 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Οι τιμές $b = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 5$ προκύπτουν με διάφορους τρόπους από τη στιγμή που

βρίσκουμε $DM = \dfrac{{39}}{{14}}$ . π.χ. με b > c

Από θεώρημα προβολών στο $\vartriangle ABC$ έχουμε :

${b^2} + {c^2} - bc = {a^2} \Rightarrow {b^2} + {c^2} - bc = 49\,\,\,(1)$

Ενώ από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων πάλι στο $\vartriangle ABC$ προκύπτει

${b^2} - {c^2} = 2aDM \Rightarrow {b^2} - {c^2} = 39\,\,(2)$ . Από την (1)

έχουμε , $\boxed{c = 2b - \dfrac{{88}}{b}}$ και η (2)

δίδει: ${b^2} - {(2b - \dfrac{{88}}{b})^2} = 39 \Rightarrow {b^2} - 4({b^2} - 88 + \dfrac{{{{44}^2}}}{{{b^2}}}) = 39$ . Αν θέσουμε $\boxed{{b^2} = x}$

προκύπτει $x - 4(x - 88 + \dfrac{{{{44}^2}}}{x}) = 39 \Leftrightarrow 3{x^2} - 313x + 7744 = 0$

με λύσεις $x = 64\,$ ή $x = \dfrac{{121}}{3}$ και έτσι $\boxed{b = 8}$ ή $b = \dfrac{{11}}{{\sqrt 3 }}$ . Μόνο όμως η πρώτη

επαληθεύει τα αρχικά δεδομένα και έχουμε από τη (2)

$\boxed{c = 5}$ .

Φιλικά, Νίκος

mathematica.gr

Κατασκευή τριγώνου

Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου