Τρία ισόπλευρα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τρία ισόπλευρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 19, 2017 3:12 pm

Σε ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία A, B, C, D, ώστε AB=a, BC=b, CD=c και κατασκευάζουμε προς το ίδιο μέρος

της ευθείας τα ισόπλευρα τρίγωνα ABP, BCQ, CDS. ΑνP\widehat QS=120^0, πώς συνδέονται τα τμήματα a, b, c μεταξύ τους;
Η πηγή μετά τις απαντήσεις.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Τρία ισόπλευρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιαν 19, 2017 8:55 pm

george visvikis έγραψε:Σε ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία A, B, C, D, ώστε AB=a, BC=b, CD=c και κατασκευάζουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας τα ισόπλευρα τρίγωνα ABP, BCQ, CDS. ΑνP\widehat QS=120^0, πώς συνδέονται τα τμήματα a, b, c μεταξύ τους;
Γιώργο γεια χαρά.
Αρχικά γράφω περιληπτικά τη διαπραγμάτευση μου, για να ασχοληθούν και άλλοι λύτες και θα επανέλθω για λεπτομέρειες
μετά από την επόμενη τουλάχιστον λύση από άλλον λύτη.
\displaystyle{\vartriangle PBQ \sim \vartriangle SCQ'' \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{y}{c}} και \displaystyle{y + b = c \Leftrightarrow y = c - b,} από γνωστή πρόταση που αποδεικνύεται και από το θεώρημα του Πτολεμαίου.
Άρα τελικά παίρνουμε \displaystle{\frac{b}{a} = \frac{{c - b}}{c} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b}.}
Συνημμένα
asdf.png
asdf.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
nikkru
Δημοσιεύσεις: 338
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Τρία ισόπλευρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Ιαν 19, 2017 9:43 pm

george visvikis έγραψε:Σε ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία A, B, C, D, ώστε AB=a, BC=b, CD=c και κατασκευάζουμε προς το ίδιο μέρος

της ευθείας τα ισόπλευρα τρίγωνα ABP, BCQ, CDS. ΑνP\widehat QS=120^0, πώς συνδέονται τα τμήματα a, b, c μεταξύ τους;
Μια λύση με χρήση διανυσμάτων:

Για να αποφύγω τα κλάσματα, παίρνω AB=2a,BC=2b,CD=2c και τοποθετώ τα τρίγωνα στο σύστημα αξόνων όπως φαίνεται στο σχήμα.

Οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών είναι: P(-a-b,a\sqrt3) , Q(0,b\sqrt3) και S(b+c,c\sqrt3).

Θέλουμε \widehat{PQS}=120^o οπότε \overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QS}=\left |\overrightarrow{QP} \right |\left | \overrightarrow{QS} \right |\cos 120^o \Leftrightarrow -2b^2-2ac+4ab+4bc=\sqrt{(4a^2+4b^2-4ab)(4b^2+4c^2-4bc)}(-\frac{1}{2})
Από την τελευταία προκύπτει b(a-b+c)(ab-ac+bc)=0\Leftrightarrow \boxed{b=a+c} ή \displaystyle{\boxed{b=\frac{ac}{a+c}}}.
Τρία ισόπλευρα1.png
Τρία ισόπλευρα1.png (20.92 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τρία ισόπλευρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Ιαν 19, 2017 10:27 pm

george visvikis έγραψε:Σε ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία A, B, C, D, ώστε AB=a, BC=b, CD=c και κατασκευάζουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας τα ισόπλευρα τρίγωνα ABP, BCQ, CDS. ΑνP\widehat QS=120^0, πώς συνδέονται τα τμήματα a, b, c μεταξύ τους;
Η πηγή μετά τις απαντήσεις.
\bullet Έστω b = mac\left\{ {a,b,c} \right\} (σχήμα 1). Με \angle PQS = {120^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle BQC = {{60}^0}} \boxed{\angle PQB + \angle CQS = {{60}^0}}:\left( 1 \right)

Έστω E το συμμετρικό του A ως προς το B. Τότε \vartriangle QPB\mathop  = \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi } \vartriangle BQE \Rightarrow \angle PQB = \angle EQB

\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\angle EQB + \angle EQC = {{60}^0}} \angle EQC = \angle SQC\mathop  \Rightarrow \limits^{\Gamma  - \Pi  - \Gamma } \vartriangle EQC = \vartriangle SQC \Rightarrow SC = c = CE \mathop  \Rightarrow \limits^{BE = AB = a,BE + EC = BC = b} \boxed{a + c = b}.
[attachment=0]Ισόπλευρα τρίγωνα.png[/attachment]
\bullet Έστω c = \max \left\{ {a,b,c} \right\}.

Τότε από \angle PQS = {120^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle BQC = {{60}^0}} \angle PQB + \angle CQS = {180^0} \mathop  \Rightarrow \limits^{\angle PBQ + \angle SCQ = {{120}^0}} \boxed{\angle BPQ + \angle CSQ = {{60}^0}}:\left( 1 \right).

Παίρνοντας πάλι το συμμετρικό E του B ως προς το C όμοιο τρόπο όπως πριν ότι …

\angle BPQ = \angle DSE\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle PBQ = \angle SDE = {{60}^0}} \vartriangle PBQ \sim \vartriangle SDE \Rightarrow \dfrac{{BQ}}{{ED}} = \dfrac{{PB}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{b}{{c - b}} = \dfrac{a}{c} \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{b} = \frac{1}{a} + \dfrac{1}{c}}

και στην ίδια σχέση καταλήγουμε αν a=\max \left\{ a,b,c \right\} και η ζητούμενη σχέση σε κάθε περίπτωση έχει βρεθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Ισόπλευρα τρίγωνα.png
Ισόπλευρα τρίγωνα.png (80.41 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρία ισόπλευρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 23, 2017 11:52 am

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Η άσκηση ήταν από το Crux_v21n10_Dec.Problem 2091 στη σελίδα 343.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης