εφαπτόμενος περίκυκλος

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4003
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

εφαπτόμενος περίκυκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Ιαν 18, 2017 12:19 am

Κύκλος εφαπτόμενος σε τρίγωνο.png
Κύκλος εφαπτόμενος σε τρίγωνο.png (57.43 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι D,E τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου του κύκλου \left( I \right) με τις πλευρές BC,CA αντίστοιχα. Αν L είναι το σημείο τομής της DE με την κάθετη στην BC στο σημείο επαφής (έστω K ) του A- παρεγγεραμμένου κύκλου \left( {{I}_{a}} \right) με την BC να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle AZK εφάπτεται της BC , όπου Z είναι η ορθή προβολή του μέσου N της KL επί της AB

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: εφαπτόμενος περίκυκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Ιαν 19, 2017 5:50 pm

problem.png
problem.png (62.34 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Έστω F η προβολή του A στην BC και G η προβολή του K στην AB. Έστω επίσης H το έγκεντρο του \triangle{ABC}. Ισχύει \displaystyle \frac{BG}{BK} = \frac{BF}{BA} (επειδή \triangle{ABF} \approx \triangle{BKG}). (*)

Ισχύουν:

\displaystyle BK = \frac{a+b-c}{2}
\displaystyle FK = BK - BF = \frac{a+b-c}{2} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} = \frac{\tau (b-c)}{a}

\displaystyle h_a = \frac{2 \tau r}{a}

\displaystyle KN = \frac{KL}{2} = DK \frac{a + b - c}{4r} = \frac{(b-c)(a+b-c)}{4r} (επειδή \triangle{DLK} \approx \triangle{CDH}).

Έτσι, h_a \cdot KN = FK \cdot BK και αφού \displaystyle \frac{h_a}{c} = \frac{GZ}{KN} έχουμε \displaystyle \frac{GZ}{BK} = \frac{FK}{AB}.
Προσθέτοντας με την (*) παίρνουμε \displaystyle \frac{BZ}{BK} = \frac{BK}{AB} και τα \triangle{ABK}, \triangle{BZK} είναι όμοια. Άρα \angle{ZAK} = \angle{ZKB} και ο κύκλος (AZK) εφάπτεται στην BC.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης