Υπολογιστική

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Υπολογιστική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 06, 2017 6:35 pm

Ίσως και να έχει συζητηθεί ξανά.
Υπολογιστική...png
Υπολογιστική...png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές
Αν AD=d είναι η διχοτόμος, AM=m η διάμεσος και 2s η περίμετρος τριγώνου ABC με D\widehat AM=\theta,

να δείξετε ότι \displaystyle{dm\cos \theta  = s(s - a)}



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Υπολογιστική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Ιαν 07, 2017 1:24 pm

george visvikis έγραψε:Ίσως και να έχει συζητηθεί ξανά.
Υπολογιστική...png
Αν AD=d είναι η διχοτόμος, AM=m η διάμεσος και 2s η περίμετρος τριγώνου ABC με D\widehat AM=\theta,

να δείξετε ότι \displaystyle{dm\cos \theta  = s(s - a)}
Πράγματι υπολογιστική ! ( πολλές πράξεις, εκτός αν υπάρχει και συντομότερη οδός ).

Από τον νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ADM προκύπτει: \displaystyle{ 2\,d\,m\,\sigma \upsilon \nu \theta =d^2+m^2-DM^2  }.

Από το Θ. Stewart \displaystyle{ d=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcs(s-a)} }, από τον τύπο των διαμέσων \displaystyle{ m^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} }

και από το Θ. διχοτόμων \displaystyle{ BD=\frac{ac}{b+c} }, άρα \displaystyle{ DM=\frac{a}{2}-BD=\frac{ab-ac}{2(b+c)}  }.

Από τα προηγούμενα έχουμε: \displaystyle{d^2+m^2-DM^2= \frac{4bcs(s-a)}{(b+c)^2}+\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}-\frac{a^2(b-c)^2}{4(b+c)^2}= }
\displaystyle{=\cdots=2\frac{a+b+c}{2}\frac{b+c-a}{2}  = 2s(s-a) }, άρα \displaystyle{dm\cos \theta  = s(s - a)}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογιστική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 08, 2017 9:54 am

Μία διαφορετική προσέγγιση.Είναι \boxed{d = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}} (1) (Τριγωνομετρία 2, Ι. Πανάκη σελίδα89).

Αλλά, \displaystyle{d = \frac{2}{{b + c}}\sqrt {bcs(s - a)} \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} } \boxed{bc{\cos ^2}\frac{A}{2} = s(s - a)} (2)
Υπολογιστική.2.png
Υπολογιστική.2.png (11.61 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
Προεκτείνω την AM κατά MN=AM, οπότε \displaystyle{\varphi  = \frac{{\widehat A}}{2} - \theta ,\omega  = \frac{{\widehat A}}{2} + \theta ,A\widehat CN = {180^0} - \widehat A}

Νόμος ημιτόνων στο ACN: \displaystyle{\frac{{2m}}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin \left( {\frac{A}{2} + \theta } \right)}} = \frac{c}{{\sin \left( {\frac{A}{2} - \theta } \right)}} = \frac{{b + c}}{{2\sin \frac{A}{2}\cos \theta }} \Leftrightarrow \frac{{2m}}{{\cos \frac{A}{2}}} = \frac{{b + c}}{{\cos \theta }} \Leftrightarrow }

\displaystyle{m\cos \theta  = \frac{{b + c}}{2}\cos \frac{A}{2} \Leftrightarrow dm\cos \theta  = d\frac{{b + c}}{2}\cos \frac{A}{2}\mathop  = \limits^{(1)} bc{\cos ^2}\frac{A}{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(2)} } \boxed{dm\cos \theta  = s(s - a)}


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπολογιστική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 14, 2017 5:12 pm

Καλησπέρα,

Άλλη μια ενδιαφέρουσα σχέση που ισχύει για την γωνία \theta μεταξύ της διχοτόμου και της διαμέσου είναι η:

\tan \theta = \tan^2 \dfrac{\alpha}{2} \tan \dfrac{\left | \beta -\gamma \right |}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης