Πάνω στον περίκυκλο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πάνω στον περίκυκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 01, 2016 11:49 am

Συντρέχουσες ευθείες.png
Συντρέχουσες ευθείες.png (22.43 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές
Έστω AD, BE τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC, H το ορθόκεντρο και M το μέσο του AB. Οι περίκυκλοι των

τριγώνων AHB, MED τέμνονται στα σημεία P, Q (το P στο ίδιο μέρος με το A ως προς την CH). Να δείξετε ότι

οι ευθείες ED, PH, MQ τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του ABC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4009
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Πάνω στον περίκυκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Δεκ 06, 2016 3:53 am

george visvikis έγραψε:Έστω AD, BE τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC, H το ορθόκεντρο και M το μέσο του AB. Οι περίκυκλοι των τριγώνων AHB, MED τέμνονται στα σημεία P, Q (το P στο ίδιο μέρος με το A ως προς την CH). Να δείξετε ότι οι ευθείες ED, PH, MQ τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του ABC.
\bullet Έστω S\equiv ED\cap \left( O \right) (με \left( O \right) τον περίκυκλο του τριγώνου \vartriangle ABC ) εκατέρωθεν του A ως προς την BC και ας είναι P,Q τα σημεία τομής των SH,SM

με τον περίκυκλο \left( K \right) του τριγώνου \vartriangle AHB αντίστοιχα (με Q μεταξύ S,M και P\ne H ) . Αρκεί να δείξουμε ισοδύναμα ότι P,Q είναι σημεία του μεσόκυκλου \left( N \right)

(κύκλος του Euler) του τριγώνου \vartriangle ABC. Έστω L,X τα σημεία τομής των SP,SM με τους κύκλους \left( O \right),\left( K \right) αντίστοιχα (με L\ne S,X\ne Q ).
[attachment=3]Πάνω στον περίκυκλο..png[/attachment]
\bullet Είναι \angle BPS \equiv \angle BPH\mathop  = \limits^{A,P,H,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \,(\sigma \eta \mu \varepsilon \iota \alpha \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( K \right))} \angle BAH \equiv \angle BAD\mathop  = \limits^{A,B,D,E\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \,\,(\angle AEB = \angle ADB = {{90}^0})}

\angle BED \equiv \angle BES \Rightarrow B,P,E,S ομοκυκλικά, άρα \boxed{\left( {HS} \right) \cdot \left( {HP} \right) = \left( {HB} \right) \cdot \left( {HE} \right)\mathop  = \limits^{B,Z,E,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \,\,(\angle BZC = \angle BEC = 90{}^0)} \left( {HC} \right) \cdot \left( {HZ} \right)}:(1).

Αν F\equiv CZ\cap \left( O \right),F\ne C τότε για τις τεμνόμενες στο H χορδές SY,CZ του \left( O \right) θα ισχύει: \left( {HS} \right) \cdot \left( {HL} \right) = \left( {HC} \right) \cdot \left( {HF} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{HZ = ZF\,\,(\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta \,\,\pi \rho o\tau \alpha \sigma \eta )}

\left( {HS} \right) \cdot \left( {HL} \right) = 2\left( {HC} \right) \cdot \left( {H{\rm Z}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \left( {HS} \right) \cdot \left( {HL} \right) = 2\left( {HS} \right) \cdot \left( {HP} \right) \Rightarrow \left( {HL} \right) = 2\left( {HP} \right) \Rightarrow P το μέσο της HL.

\bullet Είναι γνωστό ότι ο μεσόκυκλος \left( N \right) του \vartriangle ABC έχει κέντρο το μέσο του OH (το τμήμα που συνδέει το ορθόκεντρο με το βαρύκεντρο του τριγώνου \vartriangle ABC) και ακτίνα {R_N} = \dfrac{{{R_O}}}{2}.

Στο τρίγωνο \vartriangle HOL\mathop  \Rightarrow \limits^{N,P\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,HO,HL} \left( {NP} \right) = \dfrac{{\left( {OL} \right)}}{2} = \dfrac{{{R_0}}}{2} \Rightarrow \boxed{P \in \left( N \right)}:\left( 2 \right).
[attachment=2]Πάνω στον περίκυκλο..png[/attachment]
\bullet Το μέσο M της κοινής χορδής AB των ίσων κύκλων \left( O \right),\left( K \right) (τα A,B,C,H αποτελούν
ορθοκεντρική τετράδα και ως γνωστό οι περίκυκλοι των τεσσάρων τριγώνων κάθε ορθοκεντρικής τετράδας είναι ίσοι)

είναι κέντρο συμμετρίας τους και έτσι ισχύει: \boxed{\left( {SX} \right) = 2\left( {SM} \right)}:\left( 3 \right). Για τις τεμνόμενες στο S χορδές XQ,HP του \left( K \right) ισχύει:

\left( {SQ} \right) \cdot \left( {SX} \right) = \left( {SH} \right) \cdot \left( {SP} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right),Y\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,SH} 2\left( {SQ} \right) \cdot \left( {SM} \right) = 2\left( {SY} \right) \cdot \left( {SP} \right) \Rightarrow \left( {SQ} \right) \cdot \left( {SM} \right) = \left( {SY} \right) \cdot \left( {SP} \right) \Rightarrow

M,P,Y,Q ομοκυκλικά.

\bullet Από το τρίγωνο \vartriangle HSO\mathop  \Rightarrow \limits^{Y,N\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,HS,HO} \left( {NY} \right) = \dfrac{{\left( {OS} \right)}}{2} = \dfrac{{{R_O}}}{2} \Rightarrow Y \in \left( N \right).

Έτσι έχουμε: \left\{ \begin{gathered} 
  P \in \left( N \right) \\  
  Y \in \left( N \right) \\  
  M \in \left( N \right) \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{M,P,Y,Q\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \boxed{Q \in \left( N \right)}:\left( 4 \right). Από \left( 2 \right),\left( 4 \right) το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.


Στάθης

Την πιο πάνω λύση αφιερώνω με ΤΕΡΑΣΤΙΑ ΑΓΑΠΗ στις δύο Ζωίτσες μου που μου γέμισαν και μου γεμίζουν τη ζωή μου. Τη «Γιαγιά» και την ΕΓΓΟΝΗ μου
Συνημμένα
Η Γιαγιά Ζωή.jpg
Η Γιαγιά Ζωή.jpg (51.22 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Η μικρή Ζωή μας.jpg
Η μικρή Ζωή μας.jpg (32.74 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Πάνω στον περίκυκλο..png
Πάνω στον περίκυκλο..png (66.96 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Πάνω στον περίκυκλο..png
Πάνω στον περίκυκλο..png (66.96 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης