Κατασκευή και συνευθειακά

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή και συνευθειακά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 28, 2016 7:10 pm

Κατασκευή και συνευθειακά.png
Κατασκευή και συνευθειακά.png (19.17 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O).
α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου K που να εφάπτεται στην πλευρά BC και εσωτερικά στον κύκλο (O) στο σημείο A.

β) Έστω D το σημείο επαφής του κύκλου (K) με την BC. Αν οι κάθετες από τα σημεία A, C στις AD, BC αντίστοιχα

τέμνονται στο M, να δείξετε ότι τα σημεία B, K, M είναι συνευθειακά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 28, 2016 8:23 pm

Κατασκευή.png
Κατασκευή.png (27.39 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές
α) Η εφαπτόμενη του περικύκλου στο A , τέμνει την προέκταση της CB στο S .

Η διχοτόμος της \widehat{ASC} τέμνει την OA στο ποθούμενο σημείο K .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 12, 2016 9:39 pm

Επαναφορά για το β) ερώτημα.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Απρ 15, 2020 11:17 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Νοέμ 28, 2016 7:10 pm
Κατασκευή και συνευθειακά.png
Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O).
α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου K που να εφάπτεται στην πλευρά BC και εσωτερικά στον κύκλο (O) στο σημείο A.

β) Έστω D το σημείο επαφής του κύκλου (K) με την BC. Αν οι κάθετες από τα σημεία A, C στις AD, BC αντίστοιχα

τέμνονται στο M, να δείξετε ότι τα σημεία B, K, M είναι συνευθειακά.
β) Δίχως βλάβη έστω b>c. (Στο σχήμα \Gamma \equiv M)
Η εφαπτομένη του (O,OA) τέμνει την BC στο T
Ισχύουν οι εξής σχέσεις TB=\dfrac{ac^{2}}{b^{2}-c^{2}}, TC=\dfrac{ab^{2}}{b^{2}-c^{2}}, TA=\dfrac{acb}{b^{2}-c^{2}}. Είναι εύκολες οπότε τις αφήνω δίχως απόδειξη.

R,F μέσα των DM,DC αντίστοιχα άρα R κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ADC

ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ ΚΑΙ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΆ.png
ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ ΚΑΙ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΆ.png (492.11 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές


R,K,T συνευθειακά στην μεσοκάθετη του AD. Από θ.θ.

\dfrac{KD}{RF}=\dfrac{TD}{TF}\Leftrightarrow \dfrac{2KD}{MC}=\dfrac{TD}{TF} (1)

Για να είναι B,K,M συνευθειακά πρέπει να ισχύει από θ.θ.

KD/MC=BD/BC\overset{(1)}{\Leftrightarrow }TD/(2TF)=BD/BC\Leftrightarrow

\dfrac{TD}{2TC-DC}=\dfrac{BD}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{TD}{2TC-BC+BD}=\dfrac{TA-TB}{BC}\Leftrightarrow

\dfrac{TA}{TC+TA}=\dfrac{TA-TB}{a}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}}{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}+\dfrac{b^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}=\dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}-\dfrac{c^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}{a}

\Leftrightarrow \dfrac{c}{c+b}=\dfrac{c(b-c)}{b^{2}-c^{2}}\Leftrightarrow b^{2}-c^{2}=b^{2}-c^{2} που ισχύει

άρα B,K,M συνευθειακά


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 16, 2020 5:45 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Τετ Απρ 15, 2020 11:17 pm
george visvikis έγραψε:
Δευ Νοέμ 28, 2016 7:10 pm
Κατασκευή και συνευθειακά.png
Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O).
α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου K που να εφάπτεται στην πλευρά BC και εσωτερικά στον κύκλο (O) στο σημείο A.

β) Έστω D το σημείο επαφής του κύκλου (K) με την BC. Αν οι κάθετες από τα σημεία A, C στις AD, BC αντίστοιχα

τέμνονται στο M, να δείξετε ότι τα σημεία B, K, M είναι συνευθειακά.
β) Δίχως βλάβη έστω b>c. (Στο σχήμα \Gamma \equiv M)
Η εφαπτομένη του (O,OA) τέμνει την BC στο T
Ισχύουν οι εξής σχέσεις TB=\dfrac{ac^{2}}{b^{2}-c^{2}}, TC=\dfrac{ab^{2}}{b^{2}-c^{2}}, TA=\dfrac{acb}{b^{2}-c^{2}}. Είναι εύκολες οπότε τις αφήνω δίχως απόδειξη.

R,F μέσα των DM,DC αντίστοιχα άρα R κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ADC


ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ ΚΑΙ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΆ.png



R,K,T συνευθειακά στην μεσοκάθετη του AD. Από θ.θ.

\dfrac{KD}{RF}=\dfrac{TD}{TF}\Leftrightarrow \dfrac{2KD}{MC}=\dfrac{TD}{TF} (1)

Για να είναι B,K,M συνευθειακά πρέπει να ισχύει από θ.θ.

KD/MC=BD/BC\overset{(1)}{\Leftrightarrow }TD/(2TF)=BD/BC\Leftrightarrow

\dfrac{TD}{2TC-DC}=\dfrac{BD}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{TD}{2TC-BC+BD}=\dfrac{TA-TB}{BC}\Leftrightarrow

\dfrac{TA}{TC+TA}=\dfrac{TA-TB}{a}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}}{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}+\dfrac{b^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}=\dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}-\dfrac{c^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}{a}

\Leftrightarrow \dfrac{c}{c+b}=\dfrac{c(b-c)}{b^{2}-c^{2}}\Leftrightarrow b^{2}-c^{2}=b^{2}-c^{2} που ισχύει

άρα B,K,M συνευθειακά

Σ' ευχαριστώ και που την ξέθαψες και που την έλυσες :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης