Παράλληλες από επαφές και τομές
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Παράλληλες από επαφές και τομές
Έστω το μέσο του τόξου του περίκυκλου τριγώνου στο οποίο δεν ανήκει το και τα σημεία επαφής του έγκυκλου
του τριγώνου με τις αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι , με όπου ,
Στάθης
του τριγώνου με τις αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι , με όπου ,
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παράλληλες από επαφές και τομές
Καλημέρα Στάθη! Πολύ ωραία άσκηση! Είναι . Αρκεί να δείξω ότι . Από θεώρημα διχοτόμου στο :ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:παραλληλία από επαφές και τομές.pngΈστω το μέσο του τόξου του περίκυκλου τριγώνου στο οποίο δεν ανήκει το και τα σημεία επαφής του έγκυκλου
του τριγώνου με τις αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι , με όπου ,
Στάθης
κι επειδή οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο), τα τρίγωνα
θα είναι όμοια. , άρα το είναι εγγράψιμο, και είναι το μέσο του τόξου , οπότε η
είναι διχοτόμος της γωνίας .
, άρα τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε , δηλαδή η είναι διχοτόμος
της γωνίας κι επειδή , θα είναι
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παράλληλες από επαφές και τομές
Γιώργοgeorge visvikis έγραψε:Καλημέρα Στάθη! Πολύ ωραία άσκηση!ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:παραλληλία από επαφές και τομές.pngΈστω το μέσο του τόξου του περίκυκλου τριγώνου στο οποίο δεν ανήκει το και τα σημεία επαφής του έγκυκλου
του τριγώνου με τις αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι , με όπου ,
Στάθης
Παράλληλες από επαφές και τομές.png
Είναι . Αρκεί να δείξω ότι . Από θεώρημα διχοτόμου στο :
κι επειδή οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο), τα τρίγωνα
θα είναι όμοια. , άρα το είναι εγγράψιμο, και είναι το μέσο του τόξου , οπότε η
είναι διχοτόμος της γωνίας .
, άρα τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε , δηλαδή η είναι διχοτόμος
της γωνίας κι επειδή , θα είναι
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Παράλληλες από επαφές και τομές
Το σχήμα έχει γενικότερο ενδιαφέρον για υποψήφιους θεματοδότες και όχι μόνο.
Μετά την όμορφη τεκμηρίωση του Γιώργου με στοιχειώδη μέσα, ας δούμε και μία άλλη σκέψη.
Έστω τα σημεία και .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1 , έχουμε και άρα, ισχύει λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , από .
Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω .
Έστω , η προβολή του επί της και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι , όπου . Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2 , έχουμε όπου , είναι το σημείο τομής της ευθείας , από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την .
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , λόγω , έχουμε
Από και ( γνωστό αποτέλεσμα ), προκύπτει
Από και , λόγω , προκύπτει και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδιεχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου , στις πλευρές του , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου και το έγκεντρο του και , το μέσον του τόξου ππου δεν περιέχει του σημείο .
ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου , στις πλευρές του , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου είναι το ύψος του και , το σημείο τομής της ευθείας από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου για τα Λήμμα 1 και Λήμμα 2 .
Μετά την όμορφη τεκμηρίωση του Γιώργου με στοιχειώδη μέσα, ας δούμε και μία άλλη σκέψη.
Έστω τα σημεία και .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1 , έχουμε και άρα, ισχύει λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , από .
Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω .
Έστω , η προβολή του επί της και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι , όπου . Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2 , έχουμε όπου , είναι το σημείο τομής της ευθείας , από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την .
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , λόγω , έχουμε
Από και ( γνωστό αποτέλεσμα ), προκύπτει
Από και , λόγω , προκύπτει και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδιεχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου , στις πλευρές του , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου και το έγκεντρο του και , το μέσον του τόξου ππου δεν περιέχει του σημείο .
ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου , στις πλευρές του , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου είναι το ύψος του και , το σημείο τομής της ευθείας από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου για τα Λήμμα 1 και Λήμμα 2 .
Re: Παράλληλες από επαφές και τομές
Μία γρήγορη απόδειξη γι' αυτό είναι η παρακάτω.vittasko έγραψε: ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου , στις πλευρές του , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου και το έγκεντρο του και , το μέσον του τόξου ππου δεν περιέχει του σημείο .
Θεωρούμε την αντιστροφή κέντρου και ακτίνας . Τότε ο γίνεται η ευθεία . Επομένως το πηγαίνει στο ίχνος της διχοτόμου, έστω και το πηγαίνει στο . Επομένως .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Παράλληλες από επαφές και τομές
Δίνω κι εγώ μία λύση στο πανέμορφο αυτό θέμα.
Έχουμε
Αφού έπεται ότι
Συνεπώς και άρα ομοκυκλικές τετράδες με τρία κοινά σημεία, οπότε τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Συνεπώς, είναι
Επιπλέον, είναι
Από αυτές τις δύο σχέσεις έπεται ότι
Σημείωση: Άφησα ως εύκολη άσκηση ένα κενό στη λύση, το παρακάτω. Είναι
Y. Σ Η πρώτη λύση που σκέφτηκα ήταν σχεδόν ίδια με του Γιώργου Βισβίκη , αλλά έδωσα και μία άλλη, έτσι για ποικιλία.
Έχουμε
Αφού έπεται ότι
Συνεπώς και άρα ομοκυκλικές τετράδες με τρία κοινά σημεία, οπότε τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Συνεπώς, είναι
Επιπλέον, είναι
Από αυτές τις δύο σχέσεις έπεται ότι
Σημείωση: Άφησα ως εύκολη άσκηση ένα κενό στη λύση, το παρακάτω. Είναι
Y. Σ Η πρώτη λύση που σκέφτηκα ήταν σχεδόν ίδια με του Γιώργου Βισβίκη , αλλά έδωσα και μία άλλη, έτσι για ποικιλία.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες