Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Κυρ Σεπ 18, 2016 7:54 pm

Δύο κύκλοι (C_1) και (C_2) τέμνονται στα σημεία B και C . Έστω M το μέσο του BC.

Έστω A τυχαίο σημείο του κύκλου (C_1) , διαφορετικό των B και C. Οι ευθείες AB και

CA τέμνουν τον κύκλο (C_2) στα σημεία F και E αντίστοιχα. Επιπλέον, τα σημεία P και

Q είναι οι προβολές του M στις ευθείες BE και CF αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο

MPQK . Να αποδείξετε ότι η ευθεία AK διέρχεται από σταθερό σημείο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4052
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Σεπ 30, 2016 7:05 pm

Επαναφέρω αυτό το πανέμορφο!!! θέμα που είδα μόλις σήμερα και με δυσκόλεψε λιγάκι (μέχρι να "υποκύψει" :) ) . Θα το αφήσω μέχρι την Κυριακή να το δοκιμάσουν και άλλοι που πιθανόν να μην το έχουν δει και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί ή αν η απάντηση είναι διαφορετική από τη δική μου.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Σεπ 30, 2016 11:29 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Επαναφέρω αυτό το πανέμορφο!!! θέμα που είδα μόλις σήμερα και με δυσκόλεψε λιγάκι (μέχρι να "υποκύψει" :) ) . Θα το αφήσω μέχρι την Κυριακή να το δοκιμάσουν και άλλοι που πιθανόν να μην το έχουν δει και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί ή αν η απάντηση είναι διαφορετική από τη δική μου.

Στάθης
Αγαπητέ, κ. Στάθη, προσμένουμε την καθαρή Ευκλείδεια λύση σας με ενδιαφέρον!

Στο ξένο φόρουμ που δημοσιεύτηκε δεν έχει δοθεί ακόμα λύση!

Είχα μπειστον πειρασμό να την προσπαθήσω με αναλυτική γεωμετρία αλλά με προλάβατε!

Δ.Πλακάκης


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5533
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Οκτ 01, 2016 9:39 pm

dimplak έγραψε:Δύο κύκλοι (C_1) και (C_2) τέμνονται στα σημεία B και C . Έστω M το μέσο του BC. Έστω A τυχαίο σημείο του κύκλου (C_1) , διαφορετικό των B και C. Οι ευθείες AB και CA τέμνουν τον κύκλο (C_2) στα σημεία F και E αντίστοιχα. Επιπλέον, τα σημεία P και Q είναι οι προβολές του M στις ευθείες BE και CF αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο MPQK . Να αποδείξετε ότι η ευθεία AK διέρχεται από σταθερό σημείο.
Για να καλησπερίσω με ειλικρινή σταθερή αγάπη τον φίλο Στάθη, αλλά και να ... προλάβω αφού πριν μαζί με την πράγματι πολύ καλή αυτή άσκηση είδα ότι αύριο αναρτάται η σίγουρα όμορφη λύση του. Ο πλουραλισμός εδώ στο mathematica, έστω και σε πολύ καλά και δύσκολα θέματα, είναι και το απόλυτο πλεονέκτημα του.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι το σημείο K είναι το μέσον του LS στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι \angle C - \angle B = \angle A'BC - \angle A'CB,\Rightarrow\quad A{K_1} \bot LS \Rightarrow A{K_1}\parallel MK.

Τα μεγέθη \displaystyle{A{K_1} = {R_1},\;\;ML = \frac{{BC}}{2}} είναι σταθερά και επειδή \angle KML = \angle SBL = \angle FBE + \angle BEC - {90^ \circ },\;\; ct., και το μήκος MK θα είναι σταθερό.

Τελικά λοιπόν παίρνουμε \displaystyle{\frac{{{K_1}R}}{{RM}} = \frac{{{R_1}}}{{MK}},\;ct.} Δηλαδή το σημείο R θα είναι σταθερό σημείο. Ως R θεωρήθηκε το σημείο τομής των AK,\;K_1K_2



(*) Με το ίδιο σκεπτικό εργαζόμαστε και αν τα σημεία F, E ανήκουν σε διαφορετικά τόξα.

(**) Προσωπικά ας μου επιτραπεί να θεωρώ ότι το θέμα αυτό θα ήταν πολύ χρήσιμο να τοποθετηθεί στον Φάκελο Seniors για τους διαγωνισμούς Αρχιμήδη, ΒΜΟ, ΙΜΟ.
GEOM.png
GEOM.png (23.64 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4052
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Οκτ 01, 2016 11:43 pm

S.E.Louridas έγραψε:
dimplak έγραψε:Δύο κύκλοι (C_1) και (C_2) τέμνονται στα σημεία B και C . Έστω M το μέσο του BC. Έστω A τυχαίο σημείο του κύκλου (C_1) , διαφορετικό των B και C. Οι ευθείες AB και CA τέμνουν τον κύκλο (C_2) στα σημεία F και E αντίστοιχα. Επιπλέον, τα σημεία P και Q είναι οι προβολές του M στις ευθείες BE και CF αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο MPQK . Να αποδείξετε ότι η ευθεία AK διέρχεται από σταθερό σημείο.
Για να καλησπερίσω με ειλικρινή σταθερή αγάπη τον φίλο Στάθη, αλλά και να ... προλάβω αφού πριν μαζί με την πράγματι πολύ καλή αυτή άσκηση είδα ότι αύριο αναρτάται η σίγουρα όμορφη λύση του. Ο πλουραλισμός εδώ στο mathematica, έστω και σε πολύ καλά και δύσκολα θέματα, είναι και το απόλυτο πλεονέκτημα του.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι το σημείο K είναι το μέσον του LS στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι \angle C - \angle B = \angle A'BC - \angle A'CB,\Rightarrow\quad A{K_1} \bot LS \Rightarrow A{K_1}\parallel MK.

Τα μεγέθη \displaystyle{A{K_1} = {R_1},\;\;ML = \frac{{BC}}{2}} είναι σταθερά και επειδή \angle KML = \angle SBL = \angle FBE + \angle BEC - {90^ \circ },\;\; ct., και το μήκος MK θα είναι σταθερό.

Τελικά λοιπόν παίρνουμε \displaystyle{\frac{{{K_1}R}}{{RM}} = \frac{{{R_1}}}{{MK}},\;ct.} Δηλαδή το σημείο R θα είναι σταθερό σημείο. Ως R θεωρήθηκε το σημείο τομής των AK,\;K_1K_2



(*) Με το ίδιο σκεπτικό εργαζόμαστε και αν τα σημεία F, E ανήκουν σε διαφορετικά τόξα.

(**) Προσωπικά ας μου επιτραπεί να θεωρώ ότι το θέμα αυτό θα ήταν πολύ χρήσιμο να τοποθετηθεί στον Φάκελο Seniors για τους διαγωνισμούς Αρχιμήδη, ΒΜΟ, ΙΜΟ.

GEOM.png
Καλησπέρα Σωτήρη και Δημήτρη.

Είναι μεγάλη μου χαρά που ο Σωτήρης ,
ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της εποχής μας, έδωσε τη λύση στο όμορφο αυτό πρόβλημα.
Και η χαρά μου είναι μεγαλύτερη που ταυτίζεται σχεδόν με τη δική μου. Δεν είναι η πρώτη φορά που ταυτίζομαι με το Σωτήρη :D

Επειδή έχω δεσμευτεί να απαντήσω θα προσπαθήσω να διαφοροποιηθώ λίγο (νομίζω ότι δεν έχω και πολλές επιλογές) κατασκευάζοντας δύο όμορφα λήμματα που "κρύβονται" στο πρόβλημα.

Κούτρα καλό ξενύχτη!!! :lol:


Με εκτίμηση
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης