ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο , με το περίκεντρο και το έγκεντρό του αντίστοιχα.
Έστω oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων αντίστοιχα.
Έστω oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων τριγώνων αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι
Έστω oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων αντίστοιχα.
Έστω oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων τριγώνων αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ
Γεια σας,ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 25, 2022 6:14 pmΈστω οξυγώνιο τρίγωνο , με το περίκεντρο και το έγκεντρό του αντίστοιχα.
Έστω oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων αντίστοιχα.
Έστω oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων τριγώνων αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι
Από νόμο ημιτόνων στο έχουμε
Από εδώ έχουμε πως έτσι μένει να αποδείξουμε ότι
Είναι
το οποίο με βάση τη όπου ισούται με
και τώρα μένει να δείξω
Η ανισότητα Euler έτσι το
η οποία ισοδύναμα γράφεται και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ
Nα ευχαριστήσω τον Πρόδρομο για τη λύση του. Όταν μαθητές σαν τον Πρόδρομο Φωτιάδη ή τον Ορέστη Λιγνό ασχολούνται με θέματά μου, αισθάνομαι ότι κάτι αξιόλογο έχω προτείνει...
Θα ήθελα να γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν στη διατύπωση της ανισότητας.
Όπως παρατήρησε ο Πρόδρομος, από εδώ έχουμε πως
Από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε ότι:
.
Ομοίως έχουμε ότι και
Με εφαρμογή της ανισότητας Jensen στην κοίλη συνάρτηση βρίσκουμε ότι:
.
Έτσι μπορώ να γράψω, αν πολλαπλασιάσω την τελευταία ανισότητα επί , ότι
Aν ισχύει η ανισότητα , τότε έχω την ανισότητα που ήθελα...
Αλλά αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη της πασίγνωστης , αυτό διαπιστώνεται πολύ εύκολα.
Το μόνο που είχα πλέον ήταν να προτείνω το θέμα...
Θα ήθελα να γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν στη διατύπωση της ανισότητας.
Όπως παρατήρησε ο Πρόδρομος, από εδώ έχουμε πως
Από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε ότι:
.
Ομοίως έχουμε ότι και
Με εφαρμογή της ανισότητας Jensen στην κοίλη συνάρτηση βρίσκουμε ότι:
.
Έτσι μπορώ να γράψω, αν πολλαπλασιάσω την τελευταία ανισότητα επί , ότι
Aν ισχύει η ανισότητα , τότε έχω την ανισότητα που ήθελα...
Αλλά αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη της πασίγνωστης , αυτό διαπιστώνεται πολύ εύκολα.
Το μόνο που είχα πλέον ήταν να προτείνω το θέμα...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες