Εφαπτόμενοι κύκλοι
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 61
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am
Εφαπτόμενοι κύκλοι
Μετά από καιρό...
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο . Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο που αντιστοιχεί στην κορυφή , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει τη στα σημεία και . Έστω ακόμη το μέσο της .Αποδείξτε ότι ο εφάπτεται του .
Δεν είναι δική μου.
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο . Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο που αντιστοιχεί στην κορυφή , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει τη στα σημεία και . Έστω ακόμη το μέσο της .Αποδείξτε ότι ο εφάπτεται του .
Δεν είναι δική μου.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι
Καλησπέρα...ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 17, 2021 12:17 amΜετά από καιρό...
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο . Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο που αντιστοιχεί στην κορυφή , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει τη στα σημεία και . Έστω ακόμη το μέσο της .Αποδείξτε ότι ο εφάπτεται του .
Δεν είναι δική μου.
Ας δούμε το πρώτο σχήμα:
Στο σχήμα αυτό φαίνεται το τρίγωνο , ο παρεγγεγραμμένος κύκλος στη γωνία και ο περιγεγραμμένος
κύκλος του τριγώνου .
Αν το μέσο του τμήματος , δηλαδή το κέντρο του κύκλου , τότε:
Από την (1) προκύπτει ότι η είναι κάθετη στη χορδή και συνεπώς μεσοκάθετος αυτής. Άρα:
Δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
(συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι
Συνέχεια....ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 17, 2021 12:17 amΜετά από καιρό...
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο . Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο που αντιστοιχεί στην κορυφή , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει τη στα σημεία και . Έστω ακόμη το μέσο της .Αποδείξτε ότι ο εφάπτεται του .
Δεν είναι δική μου.
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα 2.
Αν η προέκταση του τμήματος τμήσει τον κύκλο , τον διερχόμενο από τα σημεία , στο σημείο , τότε:
Επίσης, αν η τομή της προέκτασης του τμήματος με τον κύκλο είναι το σημείο , τότε, όμοια, θα είναι:
Έτσι από τις (3) και (4) προκύπτει:
Από την (5) και επειδή το σημείο είναι το μέσο του προκύπτει τελικά:
ή ακόμα:
δηλαδή το σημείο είναι μέσον του τμήματος .
Έτσι αν φέρουμε την τότε αυτή θα είναι προφανώς κάθετη στην κι έτσι το τρίγωνο
θα είναι ισοσκελές. Άρα:
όπου η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στη γωνία .
Από την τελευταία σχέση (8) φαίνεται ότι το σημείο είναι κοινό σημείο των κύκλων και
όπως αυτό φαίνεται στο επόμενο σχήμα 3.
(συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι
(Συνέχεια ....)
Στο επόμενο σχήμα (Σχ. 4) θα δείξουμε ότι το κοινό σημείο των κύκλων και είναι τελικά
και σημείο επαφής των κύκλων αυτών.
Στο σχήμα αυτό θεωρούμε τα αντίστροφα των κύκλων και ως προς πόλο την κορυφή και
με κύκλο αντιστροφής τον κύκλο .
Οι κύκλοι αυτοί είναι:
1ος) Ο κύκλος ο οποίος ταυτίζεται με τον διότι ο κύκλος τέμνει ορθογώνια τον κύκλο αντιστροφής .
Η λέξη βέβαια "ταυτίζεται" σημαίνει ότι ότι το αντίστροφο κάθε σημείου του κύκλου αυτού ανήκει στον ίδιο αυτό κύκλο.
2ος) Ο αντίστροφος του κύκλου , επειδή αυτός δεν διέρχεται από τον πόλο , κατασκευάζεται ως ο ομοιόθετος αυτού,
δηλαδή του , ως προς κέντρο ομοιοθεσίας τον πόλο αντιστροφής και με λόγο ομοιοθεσίας:
όπου η δύναμη αντιστροφής και η δύναμη του πόλου αντιστροφής ως προς τον κύκλο .
Υπολογισμός των .
Είναι:
Από τις (10) και (11) προκύπτει ο λόγος ομοιοθεσίας:
Σύμφωνα με τα ανωτέρω κατασκευάστηκαν οι κύκλοι και .
Στη συνέχεια αν θεωρήσουμε την ευθεία η οποία είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο
του ισοσκελούς τριγώνου , τότε προφανώς κατά την ανωτέρω ομοιοθεσία, η εικόνα αυτής θα είναι η ,
η οριζομένη από την πλευρά του τριγώνου αυτού.
Όμως κατά την ομοιοθεσία η επαφή δύο γραμμών διατηρείται. Έτσι η ευθεία και ο κύκλος ως ομοιόθετα
δυο γραμμών που εφάπτονται, θα είναι κι αυτά εφαπτόμενα και μάλιστα στο σημείο .
Τελικά οι κύκλοι εφάπτονται της στο σημείο και επειδή το αντίστροφο του σημείου
είναι το σημείο , οι κύκλοι και εφάπτονται μεταξύ των στο σημείο .
Κώστας Δόρτσιος
Στο επόμενο σχήμα (Σχ. 4) θα δείξουμε ότι το κοινό σημείο των κύκλων και είναι τελικά
και σημείο επαφής των κύκλων αυτών.
Στο σχήμα αυτό θεωρούμε τα αντίστροφα των κύκλων και ως προς πόλο την κορυφή και
με κύκλο αντιστροφής τον κύκλο .
Οι κύκλοι αυτοί είναι:
1ος) Ο κύκλος ο οποίος ταυτίζεται με τον διότι ο κύκλος τέμνει ορθογώνια τον κύκλο αντιστροφής .
Η λέξη βέβαια "ταυτίζεται" σημαίνει ότι ότι το αντίστροφο κάθε σημείου του κύκλου αυτού ανήκει στον ίδιο αυτό κύκλο.
2ος) Ο αντίστροφος του κύκλου , επειδή αυτός δεν διέρχεται από τον πόλο , κατασκευάζεται ως ο ομοιόθετος αυτού,
δηλαδή του , ως προς κέντρο ομοιοθεσίας τον πόλο αντιστροφής και με λόγο ομοιοθεσίας:
όπου η δύναμη αντιστροφής και η δύναμη του πόλου αντιστροφής ως προς τον κύκλο .
Υπολογισμός των .
Είναι:
Από τις (10) και (11) προκύπτει ο λόγος ομοιοθεσίας:
Σύμφωνα με τα ανωτέρω κατασκευάστηκαν οι κύκλοι και .
Στη συνέχεια αν θεωρήσουμε την ευθεία η οποία είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο
του ισοσκελούς τριγώνου , τότε προφανώς κατά την ανωτέρω ομοιοθεσία, η εικόνα αυτής θα είναι η ,
η οριζομένη από την πλευρά του τριγώνου αυτού.
Όμως κατά την ομοιοθεσία η επαφή δύο γραμμών διατηρείται. Έτσι η ευθεία και ο κύκλος ως ομοιόθετα
δυο γραμμών που εφάπτονται, θα είναι κι αυτά εφαπτόμενα και μάλιστα στο σημείο .
Τελικά οι κύκλοι εφάπτονται της στο σημείο και επειδή το αντίστροφο του σημείου
είναι το σημείο , οι κύκλοι και εφάπτονται μεταξύ των στο σημείο .
Κώστας Δόρτσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 61
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι
Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το πρόβλημα!
Μέσα στις επόμενες μέρες θα παραθέσω και τη δική μου λύση , η οποία πάντως δεν απέχει αρκετά από την ανεβασμένη .
Μέσα στις επόμενες μέρες θα παραθέσω και τη δική μου λύση , η οποία πάντως δεν απέχει αρκετά από την ανεβασμένη .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης