Περίεργα φυσικός

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Περίεργα φυσικός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Δευ Ιαν 23, 2023 4:42 pm

Οι αριθμοί {{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{a}_{3}},\,\,\ldots ,\,\,{{a}_{n}} προκύπτουν από τους {{a}_{0}}=0,\,\,{{a}_{1}}=1 και της αναδρομικής σχέσης

{{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}} για n\ge 2. Να δειχθεί ότι η \displaystyle\sqrt[3]{2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}+{{(-1)}^{n}}} είναι φυσικός αριθμός.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1767
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Περίεργα φυσικός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Ιαν 24, 2023 8:57 am

orestisgotsis έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 4:42 pm
Οι αριθμοί {{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{a}_{3}},\,\,\ldots ,\,\,{{a}_{n}} προκύπτουν από τους {{a}_{0}}=0,\,\,{{a}_{1}}=1 και της αναδρομικής σχέσης

{{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}} για n\ge 2. Να δειχθεί ότι η \displaystyle\sqrt[3]{2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}+{{(-1)}^{n}}} είναι φυσικός αριθμός.
Μία... ταχυδακτυλουργική λύση ;)

Αρχικά, γράφουμε (F_n) αντί για (a_n). Έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός: Είναι 2F_n^6-2F_{n-1}^6+(-1)^n=(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3.
Απόδειξη: Προχωρούμε επαγωγικά. Για n=1 προφανώς ισχύει. Έστω πως ισχύει ότι

2F_n^6-2F_{n-1}^6+(-1)^n=(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3 (1), και θα αποδείξουμε ότι

2F_{n+1}^6-2F_{n}^6+(-1)^{n+1}=(F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n}-F_{n}^2)^3 (2).

Πολλαπλασιάζουμε την σχέση (1) με -1, οπότε προκύπτει ότι

2F_{n-1}^6-2F_n^6+(-1)^{n+1}=-(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3 (3),

συνεπώς αφαιρώντας τις σχέσεις (1) και (3) κατά μέλη αρκεί να αποδείξουμε ότι

2F_{n+1}^6-2F_{n-1}^6=(F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n}-F_{n}^2)^3+(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3.

Θέτουμε F_{n-1}=a και F_n=b, οπότε F_{n+1}=a+b. Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι

2(a+b)^6-2a^6=((a+b)^2+(a+b)a-a^2)^3+(b^2+ba-a^2)^3,

το οποίο με εύκολες (!) πράξεις αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει \blacksquare

Σαφώς από τον Ισχυρισμό το ζητούμενο γίνεται προφανές, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Περίεργα φυσικός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Ιαν 25, 2023 3:45 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 8:57 am
orestisgotsis έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 4:42 pm
Οι αριθμοί {{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{a}_{3}},\,\,\ldots ,\,\,{{a}_{n}} προκύπτουν από τους {{a}_{0}}=0,\,\,{{a}_{1}}=1 και της αναδρομικής σχέσης

{{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}} για n\ge 2. Να δειχθεί ότι η \displaystyle\sqrt[3]{2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}+{{(-1)}^{n}}} είναι φυσικός αριθμός.
Μία... ταχυδακτυλουργική λύση ;)

Αρχικά, γράφουμε (F_n) αντί για (a_n). Έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός: Είναι 2F_n^6-2F_{n-1}^6+(-1)^n=(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3.
Απόδειξη: Προχωρούμε επαγωγικά. Για n=1 προφανώς ισχύει. Έστω πως ισχύει ότι

2F_n^6-2F_{n-1}^6+(-1)^n=(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3 (1), και θα αποδείξουμε ότι

2F_{n+1}^6-2F_{n}^6+(-1)^{n+1}=(F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n}-F_{n}^2)^3 (2).

Πολλαπλασιάζουμε την σχέση (1) με -1, οπότε προκύπτει ότι

2F_{n-1}^6-2F_n^6+(-1)^{n+1}=-(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3 (3),

συνεπώς αφαιρώντας τις σχέσεις (1) και (3) κατά μέλη αρκεί να αποδείξουμε ότι

2F_{n+1}^6-2F_{n-1}^6=(F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n}-F_{n}^2)^3+(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3.

Θέτουμε F_{n-1}=a και F_n=b, οπότε F_{n+1}=a+b. Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι

2(a+b)^6-2a^6=((a+b)^2+(a+b)a-a^2)^3+(b^2+ba-a^2)^3,

το οποίο με εύκολες (!) πράξεις αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει \blacksquare

Σαφώς από τον Ισχυρισμό το ζητούμενο γίνεται προφανές, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Ευχαριστώ τον Ορέστη για την κομψή παρουσίαση, αλλά και για τον κόπο του.

Εγώ είχα πάρει κάτι παραπόταμους και να τα αποτελέσματα:

Ισχύει {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\cdot \left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-3ab \right] (1). Θέτουμε \,\,a={{x}^{2}}-xy-{{y}^{2}}\,\, και

\,\,b={{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}\,\,, οπότε \,\,a+b=\left( {{x}^{2}}-xy-{{y}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}} \right)=2\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\,\, (2).

Από την (2) έχουμε: \,\,{{\left( a+b \right)}^{2}}=4{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}\,\, (3).

Επίσης \,\,-3ab=-3\left( {{x}^{2}}-xy-{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-xy-{{y}^{2}} \right)=-3\left[ {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]=\,\,

\,\,=-3{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}\,\, (4). Από (2), (3), (4) η (1) δίνει:

{{\left( {{x}^{2}}-xy-{{y}^{2}} \right)}^{3}}+{{\left( {{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}} \right)}^{3}}=2\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\left[ 4{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}-3{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]=

=2\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right)=2{{x}^{6}}-2{{y}^{6}}\,\,.Εάν στην παραπάνω ταυτότητα θέσουμε \,\,x={{a}_{n}},\,\,\,y={{a}_{n-1}}\,\,, θα έχουμε:

2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}={{\left( a_{n}^{2}-{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}-a_{n-1}^{2} \right)}^{3}}+{{\left( a_{n}^{2}+{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}-a_{n-1}^{2} \right)}^{3}}\,\, (5).

Παρατηρούμε ότι \,\,a_{n}^{2}-{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}-a_{n-1}^{2}={{a}_{n}}\left( {{a}_{n}}-{{a}_{n-1}} \right)-a_{n-1}^{2}=\,\,

={{a}_{n}}\left( {{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}-{{a}_{n-1}} \right)-a_{n-1}^{2}={{a}_{n}}{{a}_{n-2}}-a_{n-1}^{2}=(-1)\left( a_{n-1}^{2}-{{a}_{n}}{{a}_{n-2}} \right)=

=(-1)\left[ \left( a_{n-1}^{2}-\left( {{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}} \right){{a}_{n-2}} \right) \right]=(-1)\left( a_{n-1}^{2}-{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}-a_{n-2}^{2} \right), δηλαδή

{{P}_{n}}=(-1){{P}_{n-1}}\,\,,

{{P}_{n-1}}=(-1){{P}_{n-2}}

{{P}_{n-2}}=(-1){{P}_{n-3}}

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

{{P}_{4}}=(-1){{P}_{3}}

{{P}_{3}}=(-1){{P}_{2}}\,\, και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει

{{P}_{n}}={{(-1)}^{n-2}}{{P}_{2}}\,\,. Αλλά {{P}_{2}}=a_{2}^{2}-{{a}_{1}}{{a}_{2}}-a_{1}^{2}={{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{0}} \right)}^{2}}-{{a}_{1}}\left( {{a}_{1}}+{{a}_{0}} \right)-a_{1}^{2}=

=1-1\cdot 1-1=-1\,\,, οπότε {{P}_{n}}={{(-1)}^{n-1}}\,\, και η (5) δίνει:

2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}={{\left[ {{(-1)}^{n-1}} \right]}^{3}}+{{\left( a_{n}^{2}+{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}-a_{n-1}^{2} \right)}^{3}}\,\, ή

\sqrt[3]{2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}+{{(-1)}^{n}}}=a_{n}^{2}+{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}-a_{n-1}^{2}\,\,\,, δηλαδή φυσικός αριθμός.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίεργα φυσικός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 25, 2023 5:11 pm

Ας μου επιτραπεί ένα επιπλέον ερώτημα. Για την παραπάνω ακολουθία \displaystyle {a_n},n \geqslant 1, να δείξετε ότι

οι αριθμοί \displaystyle {a_{2n + 3}},{a_n} \cdot {a_{n + 3}},2{a_{n + 1}} \cdot {a_{n + 2}} είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Περίεργα φυσικός

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Σάβ Ιαν 28, 2023 8:15 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιαν 25, 2023 5:11 pm
Ας μου επιτραπεί ένα επιπλέον ερώτημα. Για την παραπάνω ακολουθία \displaystyle {a_n},n \geqslant 1, να δείξετε ότι

οι αριθμοί \displaystyle {a_{2n + 3}},{a_n} \cdot {a_{n + 3}},2{a_{n + 1}} \cdot {a_{n + 2}} είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.
Η παραπάνω ακολουθία είναι: {{a}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( {{A}^{n}}-{{B}^{n}} \right), όπου A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

και B=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.(Fibonacci)

Παρατηρώ ότι a_{n+1}^{2}+a_{n}^{2}={{a}_{2n+1}}.

Επίσης είναι {{a}_{n+3}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left( {{A}^{n+3}}-{{B}^{n+3}} \right)

{{a}_{n}}\cdot {{a}_{n+3}}=\displaystyle\frac{1}{5}\left( {{A}^{n}}-{{B}^{n}} \right)\left( {{A}^{n+3}}-{{B}^{n+3}} \right),

2{{a}_{n+1}}\cdot {{a}_{n+2}}=\displaystyle\frac{2}{5}\left( {{A}^{n+1}}-{{B}^{n+1}} \right)\left( {{A}^{n+2}}-{{B}^{n+2}} \right).

Τελικά είναι a_{2n+3}^{2}={{\left( {{a}_{n}}\cdot {{a}_{n+3}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{a}_{n+1}}\cdot {{a}_{n+2}} \right)}^{2}}.

Παραδείγματα: Για n=1 παίρνουμε την τριάδα (3, 4, 5), ενώ για n=7

παίρνουμε την τριάδα (715, 1428, 1597).

Ζητώ συγνώμη που δεν αποπεράτωσα την απόδειξη, αλλά οι πράξεις ήταν

ζόρικες. Ίσως υπάρχει άλλος τρόπος τον οποίο δε βλέπω.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 301
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Περίεργα φυσικός

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Σάβ Ιαν 28, 2023 9:21 pm

Καλησπέρα.

Μια άλλη προσέγγιση:

a_{2n+3}^2-(2a_{n+1}a_{n+2})^2=(a_{n+1}^2+a_{n+2}^2)^2-4a_{n+1}^2a_{n+2}^2=

=(a_{n+2}^2-a_{n+1}^2)^2=(a_{n+2}-a_{n+1})^2(a_{n+2}+a_{n+1})^2=a_{n}^2a_{n+3}^2.

Επομένως:

a_{2n+3}^2=(2a_{n+1}a_{n+2})^2+(a_{n}a_{n+3})^2.


Κώστας
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης