Συναρτησιακή

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:R_+\rightarrow R_+$ τέτοιες ώστε για κάθε x,y

θετικούς πραγματικούς να ισχύει f(xf(y)+1)=yf(y+1/f(x))

#2

Θα εργαστώ με τη συνάρτηση g(x) = 1/f(x)

η οποία ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle g(y+g(x)) = yg\left(1 + \frac{x}{g(y)} \right)$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

Έστω $t \in \mathbb{R}^+$ . Για y = t/g(2)

και

στην πιο πάνω σχέση παίρνουμε g(y+g(x)) = t

που μας δείχνει ότι η

είναι επί.

Έστω τώρα $a \in \mathbb{R}^+$ ώστε g(a) = 1

. Για

παίρνουμε

, άρα

Έστω $t \in \mathbb{R}^+$ . Για x= t,y=1

παίρνουμε

ενώ για

παίρνουμε

. Από αυτά τα δύο έχουμε

$\displaystyle t = \frac{g(1+g(t))}{g(1+1/g(t))}$

για κάθε $t \in \mathbb{R}^+$ . Από το πιο πάνω είναι άμεσο ότι η

είναι 1-1. Αφού λοιπόν έχουμε και g(1+g(t)) = g(1+t)

για κάθε $t \in \mathbb{R}^+$ τότε παίρνουμε ότι g(t) = t

για κάθε $t \in \mathbb{R}^+$ .

Συνεπώς μοναδική λύση είναι η f(x) = 1/x

για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$ η οποία προφανώς ικανοποιεί τη συνθήκη.

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση