Ανισότητα υπό συνθήκη (ΙΙ)

#1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\le 4$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\ge 3.}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

θέτουμε $\displaystyle{a+b=2z, b+c=2x, c+a=2y}$ , οπότε η συνθήκη γράφεται $\displaystyle{x^2+y^2+z^2\leq 1}$

και έχουμε να αποδείξουμε

$\displaystyle{\sum \frac{(y+z-x)(z+x-y)+1}{z^2}\geq 12}$

δηλαδή

$\displaystyle{\sum \frac{z^2-(x-y)^2+1}{z^2}\geq 12}$

η οποία γράφεται

$\displaystyle{\sum \frac{1-(x-y)^2}{z^2}\geq 9.}$

Λόγω της συνθήκης αρκεί

$\displaystyle{\sum \frac{x^2+y^2+z^2-(x-y)^2}{z^2}\geq 9}$

δηλαδή

$\displaystyle{\sum \frac{2xy+z^2}{z^2}\geq 9}$ ή $\displaystyle{\sum \frac{xy}{z^2}\geq 3,}$

το οποίο είναι άμεσο από ΑΜ-ΓΜ.

Ανισότητα υπό συνθήκη (ΙΙ)

Ανισότητα υπό συνθήκη (ΙΙ)

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη (ΙΙ)

Μέλη σε σύνδεση