Σύστημα με συνημίτονα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1480
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σύστημα με συνημίτονα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Δεκ 07, 2021 9:22 pm

Πόσες λύσεις έχει το σύστημα των εξισώσεων:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\cos x_{1} = x_{2} 
\\  
\cos x_{2} = x_{3} 
\\  
\cdots \cdots 
\\ 
\cos x_{n-1}=x_{n} 
\\  
\cos x_{n}=x_{1} 
\\  
\end{matrix}\right.};



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13899
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύστημα με συνημίτονα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 08, 2021 10:41 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τρί Δεκ 07, 2021 9:22 pm
Πόσες λύσεις έχει το σύστημα των εξισώσεων:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\cos x_{1} = x_{2} 
\\  
\cos x_{2} = x_{3} 
\\  
\cdots \cdots 
\\ 
\cos x_{n-1}=x_{n} 
\\  
\cos x_{n}=x_{1} 
\\  
\end{matrix}\right.};
Έπεται \cos (\cos (\cos ... \cos (x_1) ...))) = x_1\, (*)

Για τυπογραφική ευκολία θα το κάνω για τρία φωλιασμένα \cos.

Η συνάρτηση f(x)= x-\cos (\cos (\cos(x))) είναι θετική για μεγάλα θετικά x και αρνητική μια μεγάλα αρνητικά x. Άρα έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Θα αποδείξουμε ότι τελικά έχει ακριβώς μία ρίζα δείχνοντας ότι είναι γνήσια αύξουσα.

Πραγματικά,

f'(x) = 1+ \sin (\cos (\cos(x)))\cdot \cos (\cos(x))' = 1- \sin (\cos (\cos(x)))\cdot \sin (\cos x)\cdot  (\cos(x))'

= 1+ \sin (\cos (\cos(x)))\cdot \sin (\cos x)\cdot  \sin (x) .

H παράσταση με το γινόμενο είναι κατ' απόλυτο μικρότερη ή ίση του 1 αφού όλοι οι παράγοντες είναι μικρότεροι ή ίσοι του 1. Μάλιστα η μόνη περίπτωση να είναι 1 είναι αν όλοι είναι \pm 1. Αλλά τότε ο τελευταίος παράγοντας δίνει \sin x = \pm 1 και άρα ο πρoτελευταίος είναι \sin 0=0. Τελικά f'(x) >0.

Πίσω στο σύστημα. Η μοναδική λύση είναι η x_1=x_2=... = x_n, όπου x_1 η μοναδική λύση της (*). Mε λογισμικό βρήκα ότι είναι x_1\approx 0,74


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης