Σύστημα με συνημίτονα

Al.Koutsouridis · #1

Πόσες λύσεις έχει το σύστημα των εξισώσεων:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \cos x_{1} = x_{2} \\ \cos x_{2} = x_{3} \\ \cdots \cdots \\ \cos x_{n-1}=x_{n} \\ \cos x_{n}=x_{1} \\ \end{matrix}\right.}$ ;

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 07, 2021 9:22 pm
Πόσες λύσεις έχει το σύστημα των εξισώσεων:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \cos x_{1} = x_{2} \\ \cos x_{2} = x_{3} \\ \cdots \cdots \\ \cos x_{n-1}=x_{n} \\ \cos x_{n}=x_{1} \\ \end{matrix}\right.}$ ;

Έπεται $\cos (\cos (\cos ... \cos (x_1) ...))) = x_1\, (*)$

Για τυπογραφική ευκολία θα το κάνω για τρία φωλιασμένα $\cos$ .

Η συνάρτηση $f(x)= x-\cos (\cos (\cos(x)))$ είναι θετική για μεγάλα θετικά

και αρνητική μια μεγάλα αρνητικά

. Άρα έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Θα αποδείξουμε ότι τελικά έχει ακριβώς μία ρίζα δείχνοντας ότι είναι γνήσια αύξουσα.

Πραγματικά,

$f'(x) = 1+ \sin (\cos (\cos(x)))\cdot \cos (\cos(x))' = 1- \sin (\cos (\cos(x)))\cdot \sin (\cos x)\cdot (\cos(x))'$

$= 1+ \sin (\cos (\cos(x)))\cdot \sin (\cos x)\cdot \sin (x)$ .

H παράσταση με το γινόμενο είναι κατ' απόλυτο μικρότερη ή ίση του

αφού όλοι οι παράγοντες είναι μικρότεροι ή ίσοι του

. Μάλιστα η μόνη περίπτωση να είναι

είναι αν όλοι είναι $\pm 1$ . Αλλά τότε ο τελευταίος παράγοντας δίνει $\sin x = \pm 1$ και άρα ο πρoτελευταίος είναι $\sin 0=0$ . Τελικά f'(x) >0

.

Πίσω στο σύστημα. Η μοναδική λύση είναι η x_1=x_2=... = x_n

, όπου

η μοναδική λύση της (*)

. Mε λογισμικό βρήκα ότι είναι $x_1\approx 0,74$

Σύστημα με συνημίτονα

Σύστημα με συνημίτονα

Re: Σύστημα με συνημίτονα

Μέλη σε σύνδεση