Ανισότητες

Al.Koutsouridis · #1

Οι αριθμοί $x_{1}, \dots , x_{N}$ ικανοποιούν τις ανισότητες:

$x_{1}+x_{2} \geq 1, \quad x_{2}+x_{3} \geq 2, \quad \ldots , \quad x_{N}+x_{1} \geq N$ .

Να βρείτε το ελάχιστο του αθροίσματος $S=x_{1}+\ldots +x_{N}$ , αν

α) N=2021

β)

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Προς διευκόλυνσή μας θέτουμε $x_i=\dfrac{1}{2}i+a_i-\dfrac{1}{4}$ .
Οι δοθείσες γίνονται
$a_1+a_2\geq 0,a_2+a_3\geq 0,..,a_{N-1}+a_{N}\geq 0$ και $a_N+a_1\geq \dfrac{N}{2}$

α) Παρατηρούμε πως για $a_1=a_3=..={2021}=\dfrac{2021}{4},a_2=..=a_{2020}=-\dfrac{2021}{4}$ ισχύουν όλες οι ισότητες, συνεπώς το ελάχιστο $\displaystyle \sum x_i =\dfrac{2021(2021+1)}{4}+\dfrac{2021}{4}-1/4\cdot 2021=1021615,5$

β) Εδώ είναι αλλιώς τα πράγματα, παρατηρούμε πως $a_1+..+a_{2022}=(a_1+a_{2022})+(a_2+a_3)+..+(a_{2020}+a_{2021})\geq \dfrac{2022}{2}+0+0+.+0=\dfrac{2022}{2}=1011$ .
και η ισότητα πιάνεται π.χ για $a_1=a_2=..=a_{2021}=0,a_{2022}=1011$ .
Οπότε το ελάχιστο τώρα είναι $\displaystyle \sum x_i =\dfrac{2022(2022+1)}{4}+1011-1/4\cdot 2022=1023132$

Ανισότητες

Ανισότητες

Re: Ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση