Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα δύο μεταβλητών τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση
για κάθε .
για κάθε .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Για παίρνω .
Για παίρνω για κάθε . Αφού αυτό ισχύει για άπειρες τιμές του τότε για κάποιο πολυώνυμο δύο μεταβλητών .
Τότε για κάθε .
Για παίρνω για κάθε άρα για κάθε . Όπως πριν παίρνω που δίνει για κάθε . Τότε ισχύει επίσης ότι για κάθε άρα και για κάθε .
Για παίρνω που όπως πριν μου δίνει . Με παρόμοιο τρόπο όπως προηγουμένως καταλήγω σε για κάθε . Όμως το έχει μικρότερο βαθμό από το . Αυτή η διαδικασία δεν μπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον. Άρα πρέπει η να είναι ταυτοτικά .
Για παίρνω για κάθε . Αφού αυτό ισχύει για άπειρες τιμές του τότε για κάποιο πολυώνυμο δύο μεταβλητών .
Τότε για κάθε .
Για παίρνω για κάθε άρα για κάθε . Όπως πριν παίρνω που δίνει για κάθε . Τότε ισχύει επίσης ότι για κάθε άρα και για κάθε .
Για παίρνω που όπως πριν μου δίνει . Με παρόμοιο τρόπο όπως προηγουμένως καταλήγω σε για κάθε . Όμως το έχει μικρότερο βαθμό από το . Αυτή η διαδικασία δεν μπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον. Άρα πρέπει η να είναι ταυτοτικά .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Δίνω κάποιες επιπλέον εξηγήσεις στην πιο πάνω λύση. Ουσιαστικά σε διάφορα σημεία χρησιμοποίησα την εξής πρόταση:
Λήμμα: Έστω πολυώνυμο και έστω ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα ώστε για κάθε . Τότε για κάθε .
Απόδειξη: Με επαγωγή στο . Η περίπτωση είναι αρκετά γνωστή. Γράφουμε τώρα
για κάποια πολυώνυμα .
Έστω . Ως πολυώνυμο μίας μεταβλητής το μηδενίζεται σε άπειρες τιμές του . Αυτό σημαίνει πως είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Άρα .
Αυτό ισχύει για κάθε . Άρα από την επαγωγική υπόθεση τα είναι μηδενικά πολυώνυμα και άρα το ίδιο ισχύει και για το .
Αυτό το είχα εφαρμόσει π.χ. στο πολυώνυμο . Γνωρίζοντας ότι ισούται με για κάθε παίρνω ότι ισούται με για κάθε .
Λήμμα: Έστω πολυώνυμο και έστω ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα ώστε για κάθε . Τότε για κάθε .
Απόδειξη: Με επαγωγή στο . Η περίπτωση είναι αρκετά γνωστή. Γράφουμε τώρα
για κάποια πολυώνυμα .
Έστω . Ως πολυώνυμο μίας μεταβλητής το μηδενίζεται σε άπειρες τιμές του . Αυτό σημαίνει πως είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Άρα .
Αυτό ισχύει για κάθε . Άρα από την επαγωγική υπόθεση τα είναι μηδενικά πολυώνυμα και άρα το ίδιο ισχύει και για το .
Αυτό το είχα εφαρμόσει π.χ. στο πολυώνυμο . Γνωρίζοντας ότι ισούται με για κάθε παίρνω ότι ισούται με για κάθε .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης