Συναρτησιακή minmax

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Απάντηση
DrStrange
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Τετ Μάιος 08, 2019 8:30 pm

Συναρτησιακή minmax

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από DrStrange » Τρί Μάιος 04, 2021 5:44 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες ισχύει:
f(max\{x,y\}+min\{f(x),f(y)\})=x+y για όλα τα x,y \in \mathbb{R}


Λέξεις Κλειδιά:
max
min
συνάρτηση
Κορυφή
2nisic
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Συναρτησιακή minmax

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τετ Μάιος 05, 2021 10:16 am

DrStrange έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 04, 2021 5:44 pm
 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες ισχύει:
f(max\{x,y\}+min\{f(x),f(y)\})=x+y για όλα τα x,y \in \mathbb{R}
Για x=y έχουμε f(x+f(x))=2x) (1)

Για x=0 στην (1) έχουμε f(f(0))=0.

Για x=f(0) στην (1) έχουμε f(0)=0.

Για x=0 στην αρχική έχουμε: f(min(0,y)+max(0,f(y)))=y.(2)

Έστω ότι υπάρχει a\neq 0 τέτοιος ώστε τα a,f(a) να μην είναι από την ίδια μεριά του μηδέν τότε από (1),(2)
f(a+f(a))=a=2a η f(0)=a αδύνατο.

Άρα στην (2) έχουμε f(y+0)=f(y)=y για κάθε y<0.

Έστω ότι υπάρχει a>0 για τόν όποιο f(a)=0 τότε:
Για x>a και y=a έχουμε f(x+f(x))=x+a=2x αδύνατο.

Για x>0 και y=-x τότε f(x-f(x))=0\Rightarrow f(x)=x


Αρα f(x)=x


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες