Μεγάλες κατασκευές 46

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 46

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 30, 2020 9:40 pm

Μεγάλες  κατασκευές  46.png
Μεγάλες κατασκευές 46.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
Επί ευθείας θεωρούμε διαδοχικά σημεία A , B , C , D , τέτοια ώστε : AB=4 , BC=2 , CD=3 .

Εντοπίστε ( με κανόνα και διαβήτη ) σημείο S , εκτός της ευθείας , ώστε : \widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSD} .



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τετ Δεκ 30, 2020 11:37 pm

Καλησπέρα στο :santalogo: και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
20201230_231756.jpg
20201230_231756.jpg (45.69 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές
Προεκτείνουμε την AD προς το A κατά τμήμα AE=6 και προς το D κατα τμήμα DF=3 τότε:
(E,C,B, D ): αρμονική τετράδα \Leftrightarrow SE, SB,SC,SD αρμονική δέσμη ευθειών
Αφού SC: διχοτόμος \angle BSD είναι SE \perp SC
\Rightarrow S\in Κύκλο με διάμετρο CE
Ακόμη (A,C,B,F): αρμονική τετράδα \Leftrightarrow SA,SB,SC,SF αρμονική δέσμη ευθειών.
Αφού SB: διχοτόμος \angle ASC είναι SF \perp SB
\Rightarrow S\in Κύκλο με διάμετρο BF
Έτσι τα S είναι τα 2 σημεία τομής των κύκλων με διαμέτρους τα CE,BF


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8093
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 31, 2020 5:14 am

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά .
Μεγάλες κατασκευές 46_ok.png
Μεγάλες κατασκευές 46_ok.png (24.62 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Ο Απολλώνιος κύκλος του AC με λόγο 2 είναι ο κύκλος \left( {A,AC} \right).

Ο Απολλώνιος κύκλος του BD με λόγο \dfrac{2}{3} είναι ο κύκλος \left( {L,LB} \right) και τέμνονται στο S.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 31, 2020 7:07 am

... Αν κάθε μια από τις ίσες γωνίες ισούται με \theta , υπολογίστε την : \tan\theta


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10736
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 31, 2020 9:19 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 31, 2020 7:07 am
... Αν κάθε μια από τις ίσες γωνίες ισούται με \theta , υπολογίστε την : \tan\theta
Μεγάλες κατασκευές.46.png
Μεγάλες κατασκευές.46.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
\displaystyle \tan \theta  = \sqrt {\frac{3}{5}}

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Δεκ 31, 2020 5:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 202
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Δεκ 31, 2020 1:14 pm

Μπορεί να αποδειχθεί, ότι ο Απολλώνιος κύκλος που αντιστοιχεί σε ευθύγραμμο τμήμα AB,
που έχει ληφθεί στον άξονα Ox και το διαιρεί σε λόγο \lamda, έχει κέντρο και ακτίνα που δίνονται από τις σχέσεις
https://undergroundmathematics.org/geom ... solution-2

\displaystyle{ 
\biggl( {AB \cdot \lambda^2 \over  \lambda^2 -1}, 0 \biggr) \ \ \ R= {AB \cdot \lambda \over | \lambda^2 -1 | } 
}

Δοθέντων αυτών, και θεωρώντας σύστημα συντεταγμένων με αρχή το A, λαμβάνω AK=8, NK=4 και AN=6.
Η εξίσωση τώρα του πράσινου και του καφέ κύκλου είναι αντίστοιχα

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& (x-8)^2 + y^2 = 16 \cr 
& x^2 + y^2 = 36 \cr 
\end{aligned} 
}

Επιλύοντας το σύστημα, βρίσκω ότι το N έχει συντεταγμένες \biggl( {21\over 4},  {3\over 4}\sqrt{15}\biggr).
Άρα θα είναι BP=1.25 και PC=0.75. Εύκολα τώρα βρίσκω

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& \tan \theta_1 =  {BP \over NP } =  {\sqrt{15} \over 9 } \cr 
& \tan \theta_2 =  {PC \over NP } =  {\sqrt{15} \over 15 } \cr 
& \tan \theta =  { \tan \theta_1 +  \tan \theta_2 \over 1 -  \tan \theta_1 \tan \theta_2 } =  {\sqrt{15} \over 5 } \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_apollocircle02.png
rsz_apollocircle02.png (45.17 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
rsz_apollocircle.png
rsz_apollocircle.png (51.72 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10736
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 31, 2020 5:15 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 30, 2020 9:40 pm
Μεγάλες κατασκευές 46.pngΕπί ευθείας θεωρούμε διαδοχικά σημεία A , B , C , D , τέτοια ώστε : AB=4 , BC=2 , CD=3 .

Εντοπίστε ( με κανόνα και διαβήτη ) σημείο S , εκτός της ευθείας , ώστε : \widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSD} .
Από θεώρημα διχοτόμων είναι \displaystyle \frac{{AS}}{{SC}} = 2,\frac{{SB}}{{SD}} = \frac{2}{3}. Θέτω SC=a, SB=2b, οπότε SA=2a, SD=3b.
Μεγάλες κατασκευές.46ΙΙ.png
Μεγάλες κατασκευές.46ΙΙ.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Εφαρμόζοντας το θεώρημα \displaystyle {\rm{Stewart}} στα τρίγωνα SAC, SBD έχω: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{a^2} = 2{b^2} + 4\\ 
{a^2} = 6{b^2} - 6 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{a=3}

Άρα SC=3, SA=6, δηλαδή το S προσδιορίζεται ως το σημείο τομής των κύκλων (C, 3) και (A, 6).
Μεγάλες κατασκευές.46β.png
Μεγάλες κατασκευές.46β.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές
KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 31, 2020 7:07 am
... Αν κάθε μια από τις ίσες γωνίες ισούται με \theta , υπολογίστε την : \tan\theta
Με ν. συνημιτόνου στο SAC βρίσκω \displaystyle \cos 2\theta  = \frac{1}{4} \Rightarrow {\cos ^2}\theta  = \frac{5}{8} και \displaystyle {\tan ^2}\theta  = \frac{{1 - {{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \boxed{ \tan \theta  = \sqrt {\frac{3}{5}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης