Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε τα πολυώνυμα
f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)

και

όπου

φυσικός.

1)Βρείτε τα

για τα οποία το

διαιρεί το

2)Για

βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 10:02 pm
Θεωρούμε τα πολυώνυμα

και

όπου φυσικός.

1)Βρείτε τα για τα οποία το διαιρεί το

2)Για βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης

Ας την δυσκολέψουμε (*) λίγο: Από τα

που θα βρείτε ποια είναι εκείνα για τα οποία το g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n

διαιρείται από το h(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)^2

;

(*) Στην πραγματικότητα δεν πρόκειται για δυσκολότερη άσκηση: Λύνοντας την αρχική άσκηση του Σταύρου, μία λίγο πιο προσεκτική μελέτη δίνει και αυτό που ζητώ. Έμμεσα το είπε και ο Σταύρος όταν ζήτησε το πηλίκο στην περίπτωση n=7

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 10:02 pm
Θεωρούμε τα πολυώνυμα

και

όπου φυσικός.

1)Βρείτε τα για τα οποία το διαιρεί το

2)Για βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης

1)Είναι

(απλό).
Γράφουμε επίσης $f(x,y)=xy(x-y(\omega +1))(x-y\omega)$ με $\omega=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$
$g(y\omega,y)=y^n((\omega+1)^n-\omega^n-1)=(-\omega^2)^n-\omega^n-1$ .
Πρέπει να έχουμε $(-\omega^2)^n-\omega^n-1=0$ .Αν 2|n

τότε $(-\omega^2)^n-\omega^n-1=\omega^{2n}-\omega^n-1=0$ το οποίο εύκολα προκύπτει αδύνατο αφού $\omega^n=1,\omega,\omega^2$
Οπότε

περιττός και πρέπει $-\omega^{2n}-\omega^n-1=0$
Παίρνοντας τις περιπτώσεις $n\pmod6$ πρέπει $n\equiv 1,5\pmod 6$
Επίσης πρέπει $g(-y(\omega +1),y)=0$
Για $n\equiv 1,5\pmod 6$ αυτό ισχύει(ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις),οπότε ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι $n\equiv 1,5\pmod 6$ .
(Για τις πράξεις σε όλο το 1) χρησιμοποιούμε ότι $\omega^3=1,\omega^2+\omega+1=0$ )
2)Γράφω $g(x,y)=f(x,y)r(x,y)\Leftrightarrow (x+y)^7-x^7-y^7=xy(x^2+xy+y^2) r(x,y)\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 7x^5+\dbinom{7}{2}x^4y+\dbinom{7}{3}x^3y^2+\dbinom{7}{3}x^2y^3+\dbinom{7}{2}xy^4+7y^5=r(x,y)(x^2+y^2+xy)$
Το r(x,y)

θα είναι συμμετρικό πολυώνυμο ως προς τα x,y

3ου βαθμου της μορφής r(x,y)=aχ^3+bx^2y+bxy^2+ay^3

Θέτωντας

παίρνουμε $7x^5=x^2ax^3\Leftrightarrow a=7$
Οπότε αντικαθιστώντας, ανοίγουμε τις παρενθέσεις και συγκρίνοντας τους συντελεστές του x^4y

παίρνουμε $7+b=21\Leftrightarrow b=14$
Οπότε r(x,y)=7x^3+14x^2y+14xy^2+7y^3=7(x+y)(x^2+xy+y^2)

και επαληθεύουμε ότι όντως ισχύει.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 13, 2020 12:12 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 10:02 pm
Θεωρούμε τα πολυώνυμα

και

όπου φυσικός.

1)Βρείτε τα για τα οποία το διαιρεί το

2)Για βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης
Ας την δυσκολέψουμε (*) λίγο: Από τα που θα βρείτε ποια είναι εκείνα για τα οποία το διαιρείται από το ;

(*) Στην πραγματικότητα δεν πρόκειται για δυσκολότερη άσκηση: Λύνοντας την αρχική άσκηση του Σταύρου, μία λίγο πιο προσεκτική μελέτη δίνει και αυτό που ζητώ. Έμμεσα το είπε και ο Σταύρος όταν ζήτησε το πηλίκο στην περίπτωση .

Ίσως να μην ισχύουν τα παρακάτω..συγχωρέστε με

(έχω ενδοιασμό για το επιχείρημα με την παράγωγο ,ότι πρέπει να μηδενίζεται)

Αν παραγωγίσω το g(x,y)

ως προς

προκύπτει η $k(x,y)=nx(x+y)^{n-1}-nx^{n-1}$ .
Πρέπει τώρα $k(\omega y,y)=k(-y(\omega+1),y)=0$ (αυτό το ξέρω για συνάρτηση μίας μεταβλητής,δουλεύει και εδώ όμως σωστά;)
$k(\omega y,y)=0\Leftrightarrow (\omega +1)^{n-1}-\omega^{n-1}=0\overset{2\not \mid n}{\Leftrightarrow }\omega^{2n-2}=\omega^{n-1}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 2n-2\equiv n-1\pmod3\Leftrightarrow n\equiv 1\pmod 3$
Οπότε θα είναι $n\equiv 1\pmod6$
Για αυτές τις τιμές ελέγχουμε ότι επαληθεύεται και η $k(-y(\omega+1),y)=0$ .
Το n=7

είναι δεκτή τιμή οπότε συμπλήρωσα στην λύση μου στο τέλος την παραγοντοποίηση του r(x,y)

να φαίνεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Να γράψω και την δική μου άποψη.
Όταν έχουμε ένα ομογενες πολυώνυμο

μεταβλητών τότε μπορούμε
να δουλέψουμε με πολυώνυμα n-1

μεταβλητών.
Για να το δούμε εδώ.
Είναι

$g(x,y)=x^n((1+\frac{y}{x})^n-1-(\frac{y}{x})^{n}) =x^n((1+t)^n-1-t^n)$

όπου $t=\frac{y}{x}$

και f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)=x^4t(1+t+t^2)

και το πρόβλημα ανάγεται στο τι γίνεται μεταξύ των πολυώνυμων μιας μεταβλητής

(1+t)^n-1-t^n,t(1+t+t^2)

Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Μέλη σε σύνδεση