Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

qwerty · #1

Να βρείτε τα τελευταία τρία ψηφία, του γινομένου, των ριζών της εξίσωσης:

$\sqrt[3]{2021} x^{\log_{2021} x} = x^3$

#2

Λογαριθμίζουμε με βάση το 2021

και καταλήγουμε άμεσα στην εξίσωση

$\left(\log_{2021}x\right)^2=9\log_{2021}x$ με ρίζες τις $x=1, \ x=9^{2021}$ (Edit: Η εξίσωση δεν είναι σωστή λόγω λάθους στην εφαρμογή ιδιότητας λογαρίθμων. Το αφήνω για τα 3 τελευταία ψηφία του $9^{2021}$ . Για τη σωστή λύση δείτε την αμέσως επόμενη δημοσίευση.)

Από το θεώρημα του Euler, αφού $\varphi(2021)=400$ άρα $9^{400}\equiv 1 \pmod{1000}$ κι έτσι παίρνουμε:

$9^{2021}=\left(9^{400}\right)^5\cdot 9^{21}\equiv 9^{21} = \left(9^5\right)^4\cdot 9 \equiv 49^4\cdot 9 \equiv 401^2\cdot 9 \equiv 801\cdot 9 \equiv 209 \pmod{1000}$

Άρα τα τρία τελευταία ψηφία του γινομένου $9^{2021}$ των ριζών της αρχικής εξίσωσης είναι 209

.

Αλέξανδρος

llenny · #3

Προφανώς οι λύσεις θα είναι θετικές αλλιώς δεν ορίζεται ο λογάριθμος.
Έστω $x=2021^{y}$ , η εξίσωση γίνεται: $2021^{1/3}2021^{y^2}=2021^{3y}$
Άρα $2021^{y^2-3y+1/3}=1$
y^2-3y+1/3=0

Η εξίσωση αυτή έχει δύο λύσεις a, b με a+b=3

Άρα η αρχική εξίσωση έχει λύσεις 2021^a

και

Άρα το γινόμενο τους είναι $2021^a * 2021^b=2021^{a+b}=2021^3$
το οποίο είναι 21^3

mod (1000) το οποίο είναι 261 mod(1000)
Άρα τα τελευταία τρία ψηφία του γινομένου των ριζών της εξίσωσης είναι 261.
Η λύση δεν είναι δική μου αλλά του φανταστικού Michael Penn.

qwerty · #4

llenny έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 10, 2020 2:32 am
Η λύση δεν είναι δική μου αλλά του φανταστικού Michael Penn.

Από αυτόν ακριβώς πήρα το πρόβλημα

https://youtu.be/YAUHoplcKmI

Το κανάλι του είναι φοβερό!

Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

Re: Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

Re: Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

Re: Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση