Άρρητη εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άρρητη εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 25, 2020 7:15 pm

Να λυθεί η εξίσωση : \displaystyle x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3992
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Ιουν 25, 2020 7:38 pm

Θέτουμε f(x)=\sqrt[3]{2x-1} η οποία είναι αντιστρέψιμη με 2f^{-1}(x)=x^3+1. Έτσι η εξίσωση γίνεται

2f^{-1}(x)=2f(x) \Leftrightarrow f(x)=x και η συνέχεια είναι γνωστή!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6261
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Άρρητη εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Ιουν 25, 2020 7:38 pm

Θέτουμε \displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, x\geq \frac{1}{2}.}

Τότε είναι φανερά \displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^3+1}{2}, x\geq 0}

και η εξίσωση γράφεται \displaystyle{f(x)=f^{-1}(x).}

Επειδή η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την \displaystyle{f(x)=x,x\geq 0\iff x^3-2x+1=0, x\geq 0}

\displaystyle{(x-1)(x^2+x-1)=0, x\geq 0\iff x=1\vee x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης