Συναρτησιακή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 780
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μάιος 29, 2020 3:51 pm

Καλησπέρα!
Μία άσκηση που κατασκεύασα,συγγνώμη αν είναι άστοχη η επιλογή του φακέλου.

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις \rm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες
\rm f(f(x)-xy))+f(xy)=x για κάθε \rm x,y \in \mathbb{R}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Μάιος 30, 2020 3:35 pm

f(f(x) -xy) +f(xy) =x (1)

Η (1) για y=0 : f(f(x)) +f(0)=x (2)

Από τη (2) εύκολα προκύπτει ότι η f είναι 1-1 και ως συνεχής, θα είναι γνησίως μονότονη.

Η (1) για x=0 : f(f(0))+f(0)=0 \Leftrightarrow f(f(0))=-f(0) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow f(f(f(0)))=f(-f(0)) (3)

Η (2) για x=f(0) : f(f(f(0)))=0 και λόγω της (3) : f(-f(0))=0 (4)

Η (2) για x=2f(0) : f(f(2f(0)))=f(0) \Leftrightarrow f(2f(0))=0 και λόγω της (4)

f(2f(0))=f(-f(0)) \Leftrightarrow 2f(0)=-f(0) \Leftrightarrow f(0)=0

Η (2) δίνει : f(f(x)) =x (5)

Η (1) για x=f(x) και y=\frac{y} {f(x)} :

f(x-y) +f(y) =f(x) , για x \neq 0 από όπου με όριο του x \rightarrow 0 :

f(-y) +f(y) =0 (6)


Αν η f είναι γνησίως αύξουσα
Εστω ότι υπάρχει a \in R τέτοιο, ώστε
f(a) ><a \Leftrightarrow f(f(a)) ><f(a) \Leftrightarrow a><f(a) που είναι άτοπο.
Αρα f(x) =x.

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα
Εστω ότι υπάρχει a \in R τέτοιο, ώστε
f(a) ><-a \Leftrightarrow f(f(a)) <>f(-a) \Leftrightarrow f(-a) ><a.
Από πρόσθεση κατά μέλη και λόγω της (6) καταλήγουμε σε άτοπο.
Αρα f(x) =-x.

Τελικά, f(x) =x , f(x) =-x , x \in R οι οποίες επαληθεύουν.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης