Ανισότητα!

Pantelis.N · #1

Αν

θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^2}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$

Filippos Athos · #2

Αποσύρω λόγο σφάλματος

giannisd · #3

Pantelis.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2020 1:46 am
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^2}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$

Αφαιρώντας και από τα δύο μέλη a^2+b^2+c^2

, γράφουμε την ανισότητα:

$\displaystyle{\sum_{\text{cyc}}\left(a^2 - \dfrac{a^4+ab^3}{a^2+ab+b^2}\right) \leq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)}$

Από ΑΜ-ΓΜ:
$\displaystyle{\sum_{\text{cyc}}\left(a^2 - \dfrac{a^4+ab^3}{a^2+ab+b^2}\right) = \sum_{\text{cyc}}\dfrac{a^3b+a^2b^2-ab^3}{a^2+ab+b^2} \leq \dfrac{1}{3}\sum_{\text{cyc}}\dfrac{a^3b+a^2b^2-ab^3}{ab} = \dfrac{1}{3}\sum_{\text{cyc}}(a^2+ab-b^2) = \dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)}$

Aπό τη γνωστή $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$ το ζητούμενο έπεται $\blacksquare$ .

Edit: Τελικά έχω κάνει λάθος, βλ. παρακάτω.

Pantelis.N · #4

Η άσκηση είναι από το Mathematical Reflections 2 του 2019.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

giannisd έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 01, 2020 6:48 pm

Pantelis.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2020 1:46 am
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^2}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$
Αφαιρώντας και από τα δύο μέλη , γράφουμε την ανισότητα:

$\displaystyle{\sum_{\text{cyc}}\left(a^2 - \dfrac{a^4+ab^3}{a^2+ab+b^2}\right) \leq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)}$

Από ΑΜ-ΓΜ:
$\displaystyle{\sum_{\text{cyc}}\left(a^2 - \dfrac{a^4+ab^3}{a^2+ab+b^2}\right) = \sum_{\text{cyc}}\dfrac{a^3b+a^2b^2-ab^3}{a^2+ab+b^2} \leq \dfrac{1}{3}\sum_{\text{cyc}}\dfrac{a^3b+a^2b^2-ab^3}{ab} = \dfrac{1}{3}\sum_{\text{cyc}}(a^2+ab-b^2) = \dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)}$

Aπό τη γνωστή $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$ το ζητούμενο έπεται $\blacksquare$ .

Νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα .
Στο βήμα
$\sum_{\text{cyc}}\dfrac{a^3b+a^2b^2-ab^3}{a^2+ab+b^2} \leq \dfrac{1}{3}\sum_{\text{cyc}}\dfrac{a^3b+a^2b^2-ab^3}{ab}$

πρέπει το

να είναι μη αρνητικό.
Δεν εξασφαλίζεται από πουθενά.

π.χ αν το

είναι πολύ μεγαλύτερο από τα a,c

και του

σίγουρα είναι αρνητικό.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #6

Κάτι δεν πάει καλά με αυτό το πρόβλημα... Καταρχάς ακόμη και η λύση στο site των Mathematical Reflections έχει λάθος!

Σε μια προσπάθεια να γίνει διάσπαση, η προτεινόμενη λύση ισχυρίζεται ότι ισχύει η ανισότητα:

$\dfrac{a(a^3+b^3)}{a^2+b^2+ab}\geq \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{6}$ , η οποία καταλήγει στην $(a-b)^2(3a^2+3ab-b^2)\geq 0$ που δεν ισχύει αφού ο δεύτερος παράγοντας μπορεί να είναι και αρνητικός για μεγάλα

!

Κατάφερα να αποδείξω την ανισότητα σε μια πιο αδύναμη μορφή της, όπου το δεξί μέλος είναι το $\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{3}$ , ... αλλά για την αρχική δεν βγήκε κάτι. Άλλωστε αφού η λύση που προτείνεται είναι και λάθος, μπορεί και το πρόβλημα να μην ισχύει;!

Pantelis.N · #7

Καλησπέρα σε όλους.
Παραθέτω σε αυτό το σημείο την λύση που έστειλα στο MR και σύμφωνα με αυτούς είναι σωστή.
Έφτασα μέχρι εκεί όπου έφτασε ο Διονύσης, κάνοντας μία αυθαίρετη νομίζω κίνηση στο τέλος:

$\frac{a(a+b)(a^2+ab+b^2-2ab)}{a^2+ab+b^2}={a(a+b)}-\frac{2a^2 b(a+b)}{a^2+ab+b^2}$

αλλά $a^2+ab+b^2\geq 3ab$

Οπότε $\frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}\geq a(a+b)-\frac{2a(a+b)}{3}=\frac{a^2+ab}{3}$
Δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο και ανακαλώντας την γνωστή ανισότητα $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

παίρνουμε $\frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^2}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{3}\leq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$ .

Συνεπώς $\frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^3}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$

Νομίζω πως το λάθος είναι από εκεί που υπάρχει υπογράμμιση ως το τέλος.
Ουσιαστικά αυτό που γράφω είναι τελείως αυθαίρετο.
Για παράδειγμα $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$
Είναι $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
Αλλά αυτό δεν συνεπάγεται ότι $(a+b+c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Τελικά, υπάρχει ορθή λύση;

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση