Εύρεση σταθεράς

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Εύρεση σταθεράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Ιαν 27, 2020 10:13 pm

Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί c\in \mathbb{R} για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle  f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)

για κάθε x,y\in\mathbb{R}.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Εύρεση σταθεράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Ιαν 28, 2020 12:26 am

achilleas έγραψε:
Δευ Ιαν 27, 2020 10:13 pm
Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί c\in \mathbb{R} για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle  f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)

για κάθε x,y\in\mathbb{R}.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Μια προσπάθεια και ελπίζω να μην υπάρχει πρόβλημα στην λύση, P(x,y) η σχέση και f(0)=a

Αν c=0 τότε f\equiv h, όπου h σταθερός επαληθεύει την σχέση έστω c\neq 0
P(0,0):f(2a)=a

P(f(x)+f(y),0):f(f(f(x)+f(y))+a)=f(f(x)+f(y))\Leftrightarrow
f(f(x+y)-cxy+a)=f(x+y)-cxy όπου y το -x+2a

f(cx^{2}-2acx+2a)=cx^{2}-2acx+a, έστω z το σύνολο τιμών της g(x)=cx^{2}-2acx+2a τότε f(z)=z-a τώρα μπορώ να διαλέξω τέτοιο p\in z ώστε 2p-2a,2p\in z τα οποία είναι άπειρα. Αυτό ισχύει επειδή το σύνολο τιμών της g(x) τείνει στο +\propto ,-\propto για μεγάλα p, επιπλέον g συνεχής. Έτσι θα πάρουμε αρκετά μεγάλο p ώστε να έχει τις ιδιότητες που θέλουμε.

P(p,p):f(2p-2a)+cp^{2}=f(2p)\Rightarrow 2p-2a-a+cp^2=2p-a\Leftrightarrow 2a=cp^{2}
a,c σταθερά όμως υπάρχουν άπειρα p που πρέπει να την επαληθεύουν άτοπο άρα c=0 μοναδικό c


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης