Ανισότητα!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6324
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ανισότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Ιαν 19, 2020 2:00 pm

Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον

\displaystyle{\color{blue}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)}} για κάθε \displaystyle{a,b,c>0.}

Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο

\displaystyle{\color{red}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2}} για κάθε \displaystyle{a,b,c>0.}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1421
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Ιαν 19, 2020 3:14 pm

Γεια σου Θάνο και χρόνια σου πολλά!

Είναι:

\displaystyle \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right) = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) + {a^2} + {b^2} + 3

Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες

\displaystyle {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}

και (από την ανισότητα Cauchy-Schwarz)

\displaystyle \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2},

βρίσκουμε ότι

\displaystyle \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} + 3 = \frac{3}{2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2} \right].

Χρησιμοποιώντας ξανά την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι

\displaystyle \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge \frac{3}{2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2} \right]\left( {{c^2} + 2} \right) = \frac{3}{2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\sqrt 2 }^2}} \right]\left( {{{\sqrt 2 }^2} + {c^2}} \right) \ge

\displaystyle  \ge \frac{3}{2}{\left[ {\sqrt 2 \left( {a + b} \right) + \sqrt 2 c} \right]^2} = 3{\left( {a + b + c} \right)^2},

που είναι η αποδεικτέα ανισότητα.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3371
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 19, 2020 4:01 pm

matha έγραψε:
Κυρ Ιαν 19, 2020 2:00 pm
Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον

\displaystyle{\color{blue}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)}} για κάθε \displaystyle{a,b,c>0.}

Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο

\displaystyle{\color{red}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2}} για κάθε \displaystyle{a,b,c>0.}
Η βασική παρατήρηση είναι ότι αν ισχύει για μη αρνητικά τότε ισχύει για όλα(γιατί ; )
Την θεωρούμε σαν τριώνυμο του a.
Η διακρίνουσα θα είναι f(b,c) και οφείλει να είναι μη θετική.
Αλλα αν την γράψουμε κάτω είναι τριώνυμο ως προς b.
Η διακρίνουσα του νέου τριωνύμου είναι μη θετική και η ανισότητα έπεται.
(εχω παραλείψει λεπτομέρειες π.χ το πρόσημο των μεγιστοβαθμίων όρων αλλά είναι τετριμμένο να δούμε το πρόσημο τους)

συμπλήρωμα.(γράφω λίγο πιο αναλυτικά τα παραπάνω)

Αν θεωρήσουμε την ανισότητα σαν τριώνυμο του a τότε ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι
(b^{2}+2)(c^{2}+2)-3> 0
Η διακρίνουσα είναι
\frac{D}{4}=(b^{2}+2)(c^{2}+2)(-2(b^{2}+2)(c^{2}+2)+3(b+c)^{2}+6)
για να είναι μη θετική θέλουμε
3(b+c)^{2}+6\leq 2(b^{2}+2)(c^{2}+2)

Αν το θεωρήσουμε σαν τριώνυμο του b
τότε ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι
2c^{2}+1
και η διακρίνουσα
\frac{D'}{4}=-2(c^{2}-1)^{2}
μη θετική


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης